Rozkład warunkowy i WWO

[Red John]

Niech \(\displaystyle{ X_i \sim Exp \left( 1 \right)}\), iid dla \(\displaystyle{ i=1,\ldots ,5}\).

\(\displaystyle{ Y= \begin{cases} 1 & X_1 \geq 3 \\ 0 & w p.p. \end{cases}}\),

\(\displaystyle{ T= X_1+\ldots +X_5}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ E \left( Y|T=5 \right)}\).

Pomyślałem, że na początek wyznaczę rozkład łączny \(\displaystyle{ P \left( Y=0, T<t \right)}\), korzystając z tego że \(\displaystyle{ T}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \Gamma \left( 5,1 \right)}\) i przekształcając jakoś to wyrażenie \(\displaystyle{ P \left( X_1<3, \sum_{i=1}^{5}X_i <t \right) =P \left( X_1<3,\sum_{i=2}^{5}X_i <t-X_1 \right) =}\)
\(\displaystyle{ =P \left( X_1<3, t-3<\sum_{i=2}^{5}<t \right)}\), ale wynik końcowy jest nic niepodobny do rozkładu prawdopodobieństwa, więc muszę mieć jakiś błąd rozumowy.