równanie z parametrem

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
K4rol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 301
Rejestracja: 18 cze 2007, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Elbląg
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 7 razy

równanie z parametrem

Post autor: K4rol » 28 paź 2017, o 21:42

dla jakiego \(\displaystyle{ m}\) równanie posiada rozwiązanie

\(\displaystyle{ \frac{3}{ \left( \frac{1}{3} \right) ^{x}+ \left( \frac{1}{3} \right) ^{2x}+ \left( \frac{1}{3} \right) ^{3x}+...}=\frac{2-m}{m^{2}-1}}\)

\(\displaystyle{ m \neq \left\{-1;1\right\}}\)


po uproszczeniu dostaję

\(\displaystyle{ 3^{x+1}-3=\frac{2-m}{m^{2}-1}}\)

asymptota pozioma funkcji wymiernej to

\(\displaystyle{ y=-3}\)

zatem musi być

\(\displaystyle{ \frac{2-m}{m^{2}-1}>-3}\)

aby równanie miało rozwiązanie

z tego dostaję

\(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ;-1 \right) \cup \left( \frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{1+\sqrt{13}}{6} \right) \cup \left( 1;+ \infty \right)}\)

to czego w takim razie w odpowiedziach jest
\(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ;-1 \right) \cup \left( 1;2 \right)}\)
Ostatnio zmieniony 28 paź 2017, o 21:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27297
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Re: równanie z parametrem

Post autor: Jan Kraszewski » 28 paź 2017, o 22:01

Zapomniałeś o tym, że szereg \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \right) ^{x}+ \left( \frac{1}{3} \right) ^{2x}+ \left( \frac{1}{3} \right) ^{3x}+...}\) nie zawsze da się wysumować - potrzeba ograniczenia na iloraz. To ograniczenie da Ci ograniczenie na \(\displaystyle{ x}\), to z kolei na wartości wyrażenia \(\displaystyle{ 3^{x+1}-3}\). Ostatecznie będziesz miał do rozwiązania nierówność

\(\displaystyle{ \frac{2-m}{m^{2}-1}>0}\)

i otrzymasz taką odpowiedź, jak w książce.

JK

K4rol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 301
Rejestracja: 18 cze 2007, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Elbląg
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 7 razy

równanie z parametrem

Post autor: K4rol » 28 paź 2017, o 22:40

yhm, no rzeczywiście zapomniałem o tym szczególe
\(\displaystyle{ |q|<1}\)

ODPOWIEDZ