Obliczenie granicy

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Filozofero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 28 paź 2017, o 20:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 16 razy

Obliczenie granicy

Post autor: Filozofero » 28 paź 2017, o 21:27

Cześć wszystkim. Mam do policzenia granicę. Próbowałem, próbowałem ale nic. Wynik z programu WolframAlpha wychodził dziwny. Możliwe, że wykładowca się pomylił (tak, tak.. robi to czasem na ćwiczeniach, żeby zmusić nas do myślenia ale to jest z zadań przygotowujących do kolokwium).
Mam nadzieję, że mi pomożecie
Dziękować

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1+n}{1-n}\right)^{n}}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Obliczenie granicy

Post autor: Premislav » 28 paź 2017, o 21:33

\(\displaystyle{ \left( \frac{1+n}{1-n}\right)^{n}=\left( -1+ \frac{2}{1-n} \right)^n=(-1)^n\left( 1+ \frac{2}{n-1} \right)^n}\)
Oczywiście mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( 1+ \frac{2}{n-1} \right)^n=e^2}\),
natomiast
\(\displaystyle{ (-1)^n= \begin{cases}1 \text{ gdy } 2|n \\-1 \text{ gdy } 2\nmid n\end{cases}}\)
Stąd płynie wniosek, że granica nie istnieje.

ODPOWIEDZ