Oblicz W(2017)

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
purpur
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 23 sie 2016, o 23:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy

Oblicz W(2017)

Post autor: purpur » 28 paź 2017, o 20:31

Stopień wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) jest równy 2015. Wiedząc, że \(\displaystyle{ W(n)= \frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,...,2016}\), oblicz \(\displaystyle{ W(2017)}\).

Pomyślałem, że \(\displaystyle{ W(x)}\) można by zapisać tak:

\(\displaystyle{ W(x)=\frac{(x-1)(x-2)...(x-2016)+1}{x}}\)

i taka funkcja zdaje się spełniać warunki zadania...jednak problem jest taki, że to nie jest wielomian. No i jakoś też nie widzę jak wyliczyć to \(\displaystyle{ W(2017)}\).

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Oblicz W(2017)

Post autor: Premislav » 28 paź 2017, o 20:40

Zastosuj interpolację Lagrange'a tego wielomianu w punktach
\(\displaystyle{ 1\ldots 2016}\) i zauważ, że skoro wielomian jest stopnia \(\displaystyle{ 2015}\), to dopasowanie jest dokładne, tj. mamy równość z interpolowanym wielomianem.

purpur
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 23 sie 2016, o 23:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy

Re: Oblicz W(2017)

Post autor: purpur » 28 paź 2017, o 20:51

Właśnie chciałem bez interpolacji, bo to zadanie na poziomie liceum (z konkursu o Diamentowy indeks AGH).

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Oblicz W(2017)

Post autor: PoweredDragon » 28 paź 2017, o 20:55

\(\displaystyle{ W(n) = \frac{1}{n} \\ nW(n) = 1 \\ nW(n) - 1 = 0}\)

\(\displaystyle{ W_1 (x) = xW(x) -1 = S(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2016)}\)

\(\displaystyle{ S = \frac{-1}{2016!}}\)
Dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
mamy
\(\displaystyle{ W(x) = \frac{2016!-(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2016)}{2016! \cdot x}}\)
Dla \(\displaystyle{ x = 2017}\)
\(\displaystyle{ W(2017) = 0}\)

Zauważ, że używamy znaku równości \(\displaystyle{ =}\), nie zaś przystawania \(\displaystyle{ \equiv}\). W tym kontekście można użyć wzoru do obliczenia wartości (ta funkcja przyjmuje te same wartości, co zadany wielomian), ale nie można powiedzieć, że jest to wzór tego wielomianu.

Ewentualnie w ogóle nie bawiąc się to i robiąc to zadanie z AGH tak jak ja:

\(\displaystyle{ xW(x)-1 = S(x-1)(x-2)...(x-2016)}\)

Wstawiając \(\displaystyle{ x = 0}\)
\(\displaystyle{ -1 = S(2016!)}\)

Wstawiając \(\displaystyle{ x = 2017}\)
\(\displaystyle{ 2017W(2017)-1=S(2016!) \\ 2017W(2017)=0 \\ W(2017)=0}\)

Swoją drogą ma ktoś pomysł na policzenie \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} W_1(x)}\)?

Cóż. Jednak to będzie "wielomian" (bo technicznie to mamy w liczniku wyraz wolny 2016!, który się odejmie od tego pierwszego :V
Ostatnio zmieniony 28 paź 2017, o 22:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ