Dowód podzielności przez 3; wykaż, że a jest całkowite

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
Awatar użytkownika
syntezator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 11 mar 2007, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ze wsi
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 7 razy

Dowód podzielności przez 3; wykaż, że a jest całkowite

Post autor: syntezator » 23 wrz 2007, o 13:46

Mam problem z tymi zadaniami:

1) Udowodnij, że \(\displaystyle{ 2+2^{2}+...+2^{100}}\) jest podzielne przez 3.

2)O liczbie a wiadomo, że 5a i 11a są liczbami całkowitymi. Wykaż, że a jest liczbą całkowitą.


Proszę o pomoc.

Temat poprawiłam. Regulamin jednak nie gryzie i jego lektura jest całkiem przydatna. Kasia
Ostatnio zmieniony 24 wrz 2007, o 21:59 przez syntezator, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Dowód podzielności przez 3; wykaż, że a jest całkowite

Post autor: Piotr Rutkowski » 23 wrz 2007, o 15:01

OK
1)
\(\displaystyle{ 2\equiv -1 (mod3)}\)
a więc
\(\displaystyle{ 2+2^{2}+2^{3}+...+2^{100}\equiv (-1)+(-1)^{2}+(-1)^{3}+...+(-1)^{100}\equiv 0 (mod3)}\)

2)
\(\displaystyle{ ((11k Z 5k\in Z)\Rightarrow (11k-5k=6k\in Z))\Rightarrow (6k-5k=k Z)}\)
c.n.d.

Awatar użytkownika
syntezator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 11 mar 2007, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ze wsi
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 7 razy

Dowód podzielności przez 3; wykaż, że a jest całkowite

Post autor: syntezator » 23 wrz 2007, o 16:36

Wciąż nie rozumiem rozwiązania zadania 1, czy mógłby ktoś mi pomóc - zapisać rozwiązanie na poziomie gimnazjum.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Dowód podzielności przez 3; wykaż, że a jest całkowite

Post autor: Piotr Rutkowski » 23 wrz 2007, o 16:42

Najlepiej będze zapoznać się z kongruencjami http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=30237

Awatar użytkownika
kuma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 16 sie 2007, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 69 razy

Dowód podzielności przez 3; wykaż, że a jest całkowite

Post autor: kuma » 23 wrz 2007, o 16:49

można też tak:
\(\displaystyle{ 2(1+2)+2^{3}(1+2)+2^{5}(1+2)+...+2^{97}(1+2)+2^{99}(1+2)=2(3)+2^{3}(3)+2^{5}(3)+...+2^{97}(3)+2^{99}(3)}\)

Awatar użytkownika
syntezator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 11 mar 2007, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ze wsi
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 7 razy

Dowód podzielności przez 3; wykaż, że a jest całkowite

Post autor: syntezator » 23 wrz 2007, o 18:05

Dzięki za pomoc.

ODPOWIEDZ