Granica - twierdzenie o trzech ciągach

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
student1543
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 14 paź 2017, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Granica - twierdzenie o trzech ciągach

Post autor: student1543 » 28 paź 2017, o 14:28

Hej, mam problem ze zrobieniem zadania z granic, z zadania domowego od eTrapeza. Stosuję metodę trzech ciągów, ale wynik wychodzi mi dla lewej strony \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a dla prawej 2, a powinien wyjść 1 dla calości.
O to ten przykład: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{ n^{2} } + \frac{3}{ n^{2} }+ \frac{5}{n ^{2} } + ... + \frac{2n-1}{n ^{2} } \right)}\).

O to jak rozpisałem ten przykład za pomocą tego sposobu:

\(\displaystyle{ \frac{1}{ n^{2} } + \frac{3}{ n^{2} }+ \frac{5}{n ^{2} } + ... + \frac{n-1}{n ^{2} } \le \frac{1}{ n^{2} } + \frac{3}{ n^{2} }+ \frac{5}{n ^{2} } + ... + \frac{2n-1}{n ^{2} } \le \frac{1}{ n^{2} } + \frac{3}{ n^{2} }+ \frac{5}{n ^{2} } + ... + \frac{2n}{n ^{2} }}\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6599
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1427 razy

Re: Granica - twierdzenie o trzech ciągach

Post autor: janusz47 » 28 paź 2017, o 15:15

Dlaczego uparłeś się na twierdzenie o trzech ciągach, jeżeli

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left( \frac{1}{n^2} + \frac{3}{n^2}+...+ \frac{2n -1}{n^2}\right) = \lim_{n\to \infty} \frac{1 +2n-1}{2n^2}\cdot n = 1?}\)

student1543
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 14 paź 2017, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Re: Granica - twierdzenie o trzech ciągach

Post autor: student1543 » 28 paź 2017, o 15:48

janusz47, wiesz co, tak zrobiłem jak Ty, ale mi też wyszło źle, dlatego przeszedłem do twierdzenie o trzech ciągach, ale masz rację, nie wyszło mi sposób z ciągiem, ponieważ nie zapisałem \(\displaystyle{ \frac{ 2n^{2} }{2}}\) i temu miałem źle. Ale już mi wyszło 1 Bo o ile się nie mylę we wzorze na ciąg arytmetyczny dzielimy jeszcze przez 2 A wiesz może gdzie mam błąd w tym sposobie z tw. o trzech ciągach, jeżeli można tym sposobem ten przykład zrobić?

Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 80 razy

Re: Granica - twierdzenie o trzech ciągach

Post autor: Rafsaf » 28 paź 2017, o 16:53

\(\displaystyle{ \frac{1}{ n^{2} } + \frac{3}{ n^{2} }+ \frac{5}{n ^{2} } + ... + \frac{n-1}{n ^{2} } \le \frac{1}{ n^{2} } + \frac{3}{ n^{2} }+ \frac{5}{n ^{2} } + ... + \frac{2n-1}{n ^{2} } \le \frac{1}{ n^{2} } + \frac{3}{ n^{2} }+ \frac{5}{n ^{2} } + ... + \frac{2n}{n ^{2} }}\)

A dlaczego zmieniłeś wzór na wyraz ogólny tych sum po lewej i po prawej, a nie jesteś konsekwentny?

Skoro po lewej uparłeś się na \(\displaystyle{ \frac{n-1}{n ^{2} }}\), to jakim cudem otrzymałeś pierwszy wyraz dla \(\displaystyle{ n=1}\) równy \(\displaystyle{ \frac{1}{ n^{2} }}\)?

Dla mnie pierwszym wyrazem jest \(\displaystyle{ 0}\)

Ogólnie przepis na wyrazy sumy \(\displaystyle{ a_1+a_2+a_3+...+ \frac{2n-1}{n ^{2} }}\) mamy dany w ostatnim wyrazie, czyli jak podsatwisz \(\displaystyle{ n=1}\) do \(\displaystyle{ \frac{2n-1}{n ^{2} }}\) to otrzymasz \(\displaystyle{ a_1}\), jak \(\displaystyle{ n=2}\) to \(\displaystyle{ a_2}\) itd.

To co zrobiłeś jest zupełnie nieprawidłowe

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3149
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1072 razy

Re: Granica - twierdzenie o trzech ciągach

Post autor: Janusz Tracz » 28 paź 2017, o 17:37

Osobiście nie robił bym tego za pomocą 3 ciągów tylko tak jak janusz47, już pokazał. Jeśli jednak masz odgórnie narzucone że myszą to być 3 ciągi lub po prostu taki kaprys to można by udowodnić jakkolwiek taką przesłankę:
\(\displaystyle{ \frac{\left( n-1\right)^2 }{n^2} \le \frac{1}{ n^{2} } + \frac{3}{ n^{2} }+ \frac{5}{n ^{2} } + ... + \frac{2n-1}{n ^{2} } \le \frac{\left( n+1\right)^2 }{n^2}}\)
\(\displaystyle{ \text{dla}\ n\in\NN}\)
przykładowy dowód:    
Teraz wystarczy zauważyć że

\(\displaystyle{ \frac{\left( n-1\right)^2 }{n^2} \rightarrow 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{\left( n+1\right)^2 }{n^2} \rightarrow 1}\)

Więc z 3 ciągów dostajesz że ta granica to \(\displaystyle{ 1}\).

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6599
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1427 razy

Re: Granica - twierdzenie o trzech ciągach

Post autor: janusz47 » 28 paź 2017, o 18:19

Kol. Student1543

Niech \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{n^2} + \frac{3}{n^2}+...+ \frac{2n-1}{n^2}.}\) (1)

Jeżeli zastąpimy po kolei wszystkie \(\displaystyle{ n}\) składników sumy (1)- składnikiem największym, czyli ostatnim, a otrzymanemu w ten sposób ciągowi o wyrazie ogólnym damy nazwę \(\displaystyle{ c_{n}:}\)

\(\displaystyle{ c_{n}= \frac{2n-1}{n^2} + \frac{2n-1}{n^2}+...+ \frac{2n-1}{n^2}= n\cdot \frac{2n-1}{n^2}.}\)

Z samej konstrukcji tego wyrażenia zachodzi:

\(\displaystyle{ \bigwedge_{n\in N} a_{n}\leq c_{n}}\)

oraz co jest ważne :

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} c_{n} = \lim_{\to \infty}\frac{2n^2 -n}{n^2}= 2.}\)

Podobnie możemy znaleźć wyraz ogólny ciągu \(\displaystyle{ b_{n}}\), tym razem powielając \(\displaystyle{ n}\)-krotnie wyraz najmniejszy ciągu \(\displaystyle{ (a_{n}):}\)

\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+...+ \frac{1}{n^2}= n\cdot \frac{1}{n^2}.}\)

W sposób oczywisty mamy:

\(\displaystyle{ \bigwedge_{n\in N} b_{n}\leq c_{n}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{n}{n^2} = 0.}\)

A zatem wybrane ciągi nie dążą do wspólnej granicy, założenia twierdzenia o trzech ciągach nie są spełnione, więc twierdzenie to nie ma dla nich zastosowania.

Możemy użyć jeszcze innych sposobów do obliczenia granicy ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) np. skorzystać
z twierdzenia Otto Stolza i Ernesto Cesaro.

Używając tego twierdzenia możemy pokazać ogólnie, że:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1^{p}+3^{p}+ ...+(2n+1)^{p}}{n^{p+1}}= \frac{2^{p}}{p+1}, \ \ p\in N.}\)

ODPOWIEDZ