Zbadaj monotoniczność ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
SnowBird
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 2 lip 2017, o 11:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy

Zbadaj monotoniczność ciągu

Post autor: SnowBird » 27 paź 2017, o 21:50

Dobry wieczór,
Mam kłopot z zadaniem. Zamieszczam swoje odpowiedzi i mam nadzieję, że ktoś rozwieje moje wątpliwości:

Polecenie - zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym:
1.
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{n^2+1}{n!}; \\ a_{n+1} = \frac{n^2+2n+2}{n!(n+1)} \\ a_{n+1} - a_{n} = \frac{n^2+2n+2-(n^2+1)(n+1)}{n!(n+1)} = \frac{-n^3+n+1}{n!(n+1)}}\)
I tutaj pojawia się pytanie.. Da się coś z tym dalej zrobić? Czy wnioskowanie na tym etapie jest uzasadnione? Wystarczy stwierdzić, że dla \(\displaystyle{ n = 1}\) różnica jest dodatnia, a dla \(\displaystyle{ n > 1}\) ujemna i w związku z tym ciąg nie jest monotoniczny?

2.
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{5}{ \sqrt{n+3}} ;\\ b_{n+1}= \frac{5}{\sqrt{n+4}} ;\\ b_{n+1} - b_{n} = \frac{5( \sqrt{n+3}- \sqrt{n+4}) }{ \sqrt{n+4} \cdot \sqrt{n+3} }}\)
To samo - da się to dalej przekształcać? Można po prostu stwierdzić, że \(\displaystyle{ \sqrt{n+3} < \sqrt{n+4}}\) więc różnica jest liczbą ujemną, a ciąg jest malejący?

Z góry dziękuję za wszelką pomoc.
Ostatnio zmieniony 27 paź 2017, o 22:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19184
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3243 razy

Zbadaj monotoniczność ciągu

Post autor: a4karo » 27 paź 2017, o 21:52

W 1 tak wystarczy,
W 2 trochę armata: pierwiastek rośnie, więc mianownik rośnie, więc wyrazy ciągu ...

ODPOWIEDZ