Macierz i wektor, dlaczego takie rozwiązanie?

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Scrub
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 4 paź 2016, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Macierz i wektor, dlaczego takie rozwiązanie?

Post autor: Scrub » 27 paź 2017, o 21:38

\(\displaystyle{ left[egin{array}{ccc}2&-2\1&-1end{array} ight]left[egin{array}{ccc}x\yend{array} ight]=left[egin{array}{ccc}0\0end{array} ight]}\)

Może mi ktoś wyjaśnić, dlaczego jedynym słusznym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ left[egin{array}{ccc}x\yend{array} ight]=left[egin{array}{ccc}1\1end{array} ight]}\)?

Wydaje się, że żadnej filozofii w tym nie ma. Gdybym rozwiązywał to normalnie, wiadomo \(\displaystyle{ x = y}\), ale musimy uzyskać wektor \(\displaystyle{ left[egin{array}{ccc}1\1end{array} ight]}\) kompletnie nie wiem skąd (problem wzięty z 425442.htm). Przecież ten układ jest prawdziwy, gdy pod \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) podstawimy dowolne takie same liczby...

adri@n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 6 wrz 2009, o 14:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Macierz i wektor, dlaczego takie rozwiązanie?

Post autor: adri@n » 27 paź 2017, o 22:03

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-2\\1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right] \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow \begin{cases} 2x - 2y = 0 \\ x - y = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=y \\ y=y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow \left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} y \\ y \end{array}\right] = y\cdot \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right]}\)

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Re: Macierz i wektor, dlaczego takie rozwiązanie?

Post autor: SlotaWoj » 27 paź 2017, o 22:14

Podanej macierzy odpowiada zależny układ równań, który ma nieskończenie wiele rozwiązań (w których \(\displaystyle{ x=y}\)) i żadne z nich nie jest lepsze od pozostałych. To, że z tych rozwiązań trzeba jakieś wybrać wynika z problemu, przy okazji którego powstał ten układ równań. Zazwyczaj przyjmuje się, że \(\displaystyle{ x=1}\) lub \(\displaystyle{ y=1}\).

Scrub
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 4 paź 2016, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Re: Macierz i wektor, dlaczego takie rozwiązanie?

Post autor: Scrub » 27 paź 2017, o 23:38

adri@n,
Dlaczego tutaj:
\(\displaystyle{ egin{cases} x=y \ y=y end{cases}}\)
jest \(\displaystyle{ y=y}\)
? To oczywiste, ale dlaczego tak piszemy i co to da? (nie czepiam się, tylko chcę zrozumieć )

@SlotaWoj
Ok, czyli po podstawieniu wartości \(\displaystyle{ eq 1}\) otrzymam prawidłowy wektor własny? Orientujesz się w tym? Bo z tego postu wynika, że nie 425442.htm#p5512294
Ostatnio zmieniony 28 paź 2017, o 18:35 przez Scrub, łącznie zmieniany 1 raz.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Re: Macierz i wektor, dlaczego takie rozwiązanie?

Post autor: SlotaWoj » 28 paź 2017, o 00:03

Wektor własny przekształcenia to taki, którego obraz jest do niego równoległy (ma ten sam kierunek), więc wszystkie równoległe doń wektory są równoważne.
Kwestia przedstawienia takiego wektora zależy od „estetyki”. Są tacy, którzy uważają, że powinien on mieć długość jednostkową.

Scrub
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 4 paź 2016, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Re: Macierz i wektor, dlaczego takie rozwiązanie?

Post autor: Scrub » 28 paź 2017, o 21:01

To jeszcze ostatnie pytanie, czy może być tak, że dla tej samej wartości własnej znajdę dwa różne wektory własne? Różne w takim sensie, że na przykład pierwszy to \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\ \alpha \end{array}\right]}\) a drugi \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \beta \\1\end{array}\right]}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ \alpha \neq \beta}\) (w przeciwnym wypadku to raczej na pewno było by źle).

Wydaje mi się że tak, ale wolę się upewnić.

Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Re: Macierz i wektor, dlaczego takie rozwiązanie?

Post autor: NogaWeza » 28 paź 2017, o 21:08

Tak, dla przykładu weź sobie macierz jednostkową.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19209
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Macierz i wektor, dlaczego takie rozwiązanie?

Post autor: a4karo » 28 paź 2017, o 21:19

Albo rzut \(\displaystyle{ \RR^3}\) na \(\displaystyle{ \RR^2}\)

Scrub
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 4 paź 2016, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Re: Macierz i wektor, dlaczego takie rozwiązanie?

Post autor: Scrub » 29 paź 2017, o 21:08

a4karo pisze:Albo rzut \(\displaystyle{ \RR^3}\) na \(\displaystyle{ \RR^2}\)
W sumie to nie rozumiem

NogaWeza,
Miałem na myśli przypadek, gdzie nie ma wielokrotnych wartości własnych. Nie wiem czy w przykładzie który podałeś ma to jakieś znaczenie. Dziwny układ równań wychodzi z macierzą jednostkową. Patrząc na układ, jest on zawsze spełniony, ale chyba wiem skąd się biorą akurat te wektory. Kalkulator daje mi dwa wektory własne mimo że jest jedna wartość własna - czy dlatego, że jest podwójna? (tzn pierwiastek wielomianu charakterystycznego jest podwójny).

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Re: Macierz i wektor, dlaczego takie rozwiązanie?

Post autor: SlotaWoj » 30 paź 2017, o 00:26

Scrub pisze:To jeszcze ostatnie pytanie, czy może być tak, że dla tej samej wartości własnej znajdę dwa różne wektory własne? Różne w takim sensie, że na przykład pierwszy to \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\ \alpha \end{array}\right]}\) a drugi \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \beta \\1\end{array}\right]}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ \alpha \neq \beta}\) ...
i \(\displaystyle{ \alpha\neq0\ \wedge\ \beta\neq0\ \wedge\ \beta=\frac{1}{\alpha}}\) .

ODPOWIEDZ