17-kąt foremny

[Rafsaf]

Jest to zadanie 12 ze str 6 z książeczki Matematyczne Seminarium Olimpijskie

Spośród wszystkich wierzchołków 17-kąta foremnego wybrano dziesięć. Wykazać, że wśród wybranych punktów są cztery będące wierzchołkami trapezu.

Niestety nie potrafię ogarnąć wskazówki

Ukryta treść:    

Rozważmy dowolny niewybrany wierzchołek. Pozostałe wierzchołki są końcami pewnych ośmiu równoległych odcinków. Wybrano \(\displaystyle{ 10=8+2}\) z tych wierzchołków.

[Bourder]

Weźmy więc ten wierzchołek, np. \(\displaystyle{ A}\). Wtedy pozostaje \(\displaystyle{ 16}\) wierzchołków, z których 10 jest, powiedzmy, pokolorowanych. Zauważmy, że można poprowadzić przez \(\displaystyle{ A}\) oś symetrii tego wielokąta tak, by łącząc kolejne \(\displaystyle{ 2}\) wierzchołki po jego obu stronach tworzyć równoległe odcinki. Po każdej stronie osi symetrii znajduje się \(\displaystyle{ 8}\) wierzchołków.

Ukryta treść:    

Wybrano \(\displaystyle{ 10}\). Także po jednej ze stron zamalowanych będzie \(\displaystyle{ 8}\) wierzchołków, a po drugiej \(\displaystyle{ 2}\). Skoro tak, to można utworzyć trapez.

Ok, wyżej przesadziłem.
Łączymy wierzchołki w pary tak jak napisałem. To będą szufladki, których jest w takiej sytuacji \(\displaystyle{ 8}\). Wybieramy dziesięć punktów. Czyli przynajmniej \(\displaystyle{ 2}\) szufladki będą pełne.