Matematyka.pl

Mam zadanie, które mi nie wychodzi. Proszę o lokalizację błędu:
"Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ b}\), dla których równanie \(\displaystyle{ \frac{x ^{2}- \left( 4b+3 \right) x+3b ^{2}+3b }{x-2} =0}\) ma dwa rozwiązania różnych znaków.
Moje rozwiązanie:
1. Zał.: \(\displaystyle{ x \neq 2}\); \(\displaystyle{ x _{1}x _{2} <0;}\) delta większa od zera
2. Delta: \(\displaystyle{ 4b ^{2}+12b+9>0}\), czyli \(\displaystyle{ b \in \RR \setminus \left\{ \frac{-3}{2} \right\}}\)
3. Z viete'a \(\displaystyle{ 3b ^{2}+3b<0}\), czyli \(\displaystyle{ b \in \left( -3;0 \right)}\)
4. Suma: \(\displaystyle{ b \in \left( -3;0 \right) \setminus \left\{ \frac{-3}{2} \right\}}\)

Prawidłowa odpowiedź wg podręcznika: \(\displaystyle{ b \in \left( -1;0 \right) \setminus \left\{ \frac{-1}{3} \right\}}\)

Prawdopodobnie popełniłeś błąd w 3. licząc
\(\displaystyle{ 3b^2 + 3b = b(b+3)}\)
zamiast
\(\displaystyle{ 3b^2 + 3b = 3b(b+1)}\).

Proszę zwrócić uwagę na poprawne obliczenie wyróżnika \(\displaystyle{ \Delta.}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 4b^2 -36b +9 > 0.}\)

\(\displaystyle{ \Delta = (-(4b + 3))^2 - 4 \cdot (3b^2 + 3b) =}\)
\(\displaystyle{ = 16b^2 + 24 b + 9 - 12 (b^2 + b) =}\)
\(\displaystyle{ 16b^2 +24 b + 9 - 12b^2 - 12b = 4 b^2 + 12 b + 9}\)
Moim zdaniem, jest dobrze policzone.

\(\displaystyle{ \Delta (2b+3)^2 >0}\)

\(\displaystyle{ b\in \textbf R - \left\{-\frac{3}{2}\right\}}\) (1)

\(\displaystyle{ x_{1}\cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{3b^2+3b}{1}= 3b(b+1)<0}\)

\(\displaystyle{ b\in (-1, 0)}\) (2)

\(\displaystyle{ 2^2 -(4b +3)\cdot 2 +3b^2 +3b \neq 0}\)

\(\displaystyle{ 3b^2 -5b -2 \neq 0.}\)

\(\displaystyle{ b \neq -\frac{1}{3} \wedge b\neq 2.}\) (3)

Z (1), (2) (3):

\(\displaystyle{ b \in (-1, 0) \setminus \left\{-\frac{1}{3} \right \}}\)

janusz47 pisze:
\(\displaystyle{ 2^2 -(4b +3)\cdot 2 +3b^2 +3b \neq 0}\)

\(\displaystyle{ 3b^2 -5b -2 \neq 0.}\)

\(\displaystyle{ b \neq -\frac{1}{3} \wedge b\neq 2.}\) (3)

Z (1), (2) (3):

\(\displaystyle{ b \in (-1, 0) \setminus \left\{-\frac{1}{3} \right \}}\)

A dlaczego podstawiamy dwójkę za \(\displaystyle{ x}\)? Jeżeli \(\displaystyle{ x = 2}\), to dla każdego \(\displaystyle{ b}\) równanie będzie sprzeczne, dlaczego więc trzeba go podstawić, żeby wyszło zgodnie z wynikiem?

Dlatego, że dla licznika \(\displaystyle{ L}\) i mianownika \(\displaystyle{ M}\) równego 2 otrzymalibyśmy:

\(\displaystyle{ \frac{L}{M} = \frac{0}{0}}\) - równanie nieoznaczone

W takim razie stokrotne dzięki