Matematyka.pl

Dane jest zadanie: "Dane jest równanie \(\displaystyle{ \frac{x ^{2}+1 }{a ^{2}x-2a } - \frac{1}{2-ax} = \frac{x}{a}}\) z niewiadomą x. Zbadaj, dla jakich wartości a równanie ma dwa różne pierwiastki."

Powiedzcie mi, co robię źle, że wychodzi mi zły wynik.

Moje rozwiązanie:
1. Sprowadzam podane równanie do postaci: \(\displaystyle{ \frac{(a+1)x ^{2}-2x+a+1 }{a ^{2}x-2a } =0}\)
2. Równanie ma 2 pierwiastki, gdy wyróżnik kwadratowy jest większy od zera.
\(\displaystyle{ \Delta=-4a ^{2}-8a>0}\), czyli \(\displaystyle{ a \in (-2;0)}\)
3. Jeżeli \(\displaystyle{ a=-1}\), to \(\displaystyle{ -2x=0}\), czyli równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, więc a=-1 odpada.
4. Odp.: \(\displaystyle{ a \in (-2;0) \setminus {-1}}\)
Ta odpowiedź jest błędna wg autora podręcznika. Dlaczego?

Sprawdź krok 1. Twojego rozwiązania. Moim zdaniem licznik w równaniu po przekształceniu powinien wyglądać tak: \(\displaystyle{ (a-1)x^2-2x-a-1}\)

A poza tym zaczyna od założeń, bo może się okazać, że pierwiastek licznika jest poza dziedziną.

lukasz1804 pisze:Sprawdź krok 1. Twojego rozwiązania. Moim zdaniem licznik w równaniu po przekształceniu powinien wyglądać tak: \(\displaystyle{ (a-1)x^2-2x-a-1}\)

Twój licznik, to mój przemnożony przez \(\displaystyle{ -1}\), gdzie następuje więcej liczenia, bo trzeba sprowadzać mianownik do wspólnej postaci na około, a ja robię to w ten sposób:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2}+1 }{a ^{2}x-2a } - \frac{a+2x-ax ^{2} }{2a-a ^{2}x }=0}\). Różnicę dwóch wyrażeń zamieniam na sumę pierwszego i przeciwności drugiego. W zamian za ten "zbrany" minus wstawiam inny do mianownika drugiego wyrażenia i otrzymuję
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2}+1 }{a ^{2}x-2a } + \frac{ -ax^{2}+2x+a }{a ^{2}x-2a } =0}\). Z mojej wiedzy wynika, że wszystko jest jak na razie poprawnie.

No i się okazało, że jednak wcześniej źle obliczyłem... Ty to masz łeb chłopie! Dzięki ;D

Kolejny edit.
Po przeliczeniu wyszło mi w 66% dobrze, ponieważ \(\displaystyle{ \Delta = 4a ^{2}}\).
A dla \(\displaystyle{ a=-2}\) delta równania równa się zero, czyli ma jedno rozwiązanie... Ale w odp jeeest... Gubię się w tym zadaniu i zależy mi żeby je w 100% pojąć.