Gradienty, gradienty...

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2618
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Gradienty, gradienty...

Post autor: max123321 » 27 paź 2017, o 01:43

\(\displaystyle{ f=\left( f_1,f_2,...,f_m\right):\RR^n \rightarrow \RR^m}\) jest odwzorowaniem różniczkowalnym w punkcie \(\displaystyle{ x \in \RR^n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \left| \mbox{d} f(x)\right| \le \sqrt{\sum_{j=1}^{m}\left| \left| \nabla f_j\right| \right| _{2} ^{2}}}\), gdzie gradienty \(\displaystyle{ \nabla f_j}\) są brane w punkcie \(\displaystyle{ x}\).

Jak to ruszyć?
Ostatnio zmieniony 27 paź 2017, o 09:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Mogget
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 22 gru 2013, o 11:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 9 razy

Re: Gradienty, gradienty...

Post autor: Mogget » 1 lis 2017, o 15:08

Spróbuj najpierw udowodnić następującą nierówność:
Niech \(\displaystyle{ A=(A_{i,j})_{i\in\{1,\dotsc,m\},j\in\{1,\dotsc,n\}}}\) będzie macierzą \(\displaystyle{ m\times n}\) reprezentującą operator liniowy \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}}\). Na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m}}\) zadajemy normę indukowaną przez iloczyn skalarny. Prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ \|A\|\le \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|A_{i,j}|^{2}}}\),
gdzie \(\displaystyle{ \|A\|}\) oznacza normę operatorową.

Z tej nierówności i postaci \(\displaystyle{ df(x)}\) łatwo wynika Twoja nierówność.

ODPOWIEDZ