Znaleźć wszystkie funkcje

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2618
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Znaleźć wszystkie funkcje

Post autor: max123321 » 27 paź 2017, o 01:09

\(\displaystyle{ v \in \RR^2}\) jest ustalonym wektorem niezerowym. Znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\RR^2 \rightarrow \RR}\) takie, że \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}f }{ \mbox{d}v }\left( x,y\right)=0, \forall \left( x,y\right) \in \RR^2}\)

Jakie to będą funkcje?
Ostatnio zmieniony 27 paź 2017, o 15:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Znaleźć wszystkie funkcje

Post autor: szw1710 » 27 paź 2017, o 10:22

Brak Ci założeń regularnościowych. Uzupełnij je i wyraź pochodną kierunkową przez pochodne cząstkowe.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2618
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Znaleźć wszystkie funkcje

Post autor: max123321 » 29 paź 2017, o 07:20

Założenia regularnościowe? Nie bardzo wiem, o czym mówisz. Znaczy ja wiem, jedynie, że te funkcje będą stałe w kierunku tego wektora \(\displaystyle{ v}\). Czyli to będą takie proste kreski, na różnych poziomach w ogólności, ale nie bardzo wiadomo co się dzieje w innych kierunkach.

Kaf
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 826
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 187 razy

Re: Znaleźć wszystkie funkcje

Post autor: Kaf » 29 paź 2017, o 09:04

Ustalmy dowolny punkt \(\displaystyle{ z \in \RR^2}\). Wtedy funkcja \(\displaystyle{ g_z: \RR \rightarrow \RR}\) dana wzorem \(\displaystyle{ g_z(t)=f(z+tv)}\) jest różniczkowalna na całej prostej i jej pochodna \(\displaystyle{ {g'_z}(t)=\frac{\mbox{d} f}{\mbox{d} v}(z+tv)}\) jest równa zero. Wobec tego \(\displaystyle{ g_z}\) jest stała.

ODPOWIEDZ