Oblicz pole kwadratu zawartego w trójkącie prostokątnym

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
kacper12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 paź 2017, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

Oblicz pole kwadratu zawartego w trójkącie prostokątnym

Post autor: kacper12 » 26 paź 2017, o 21:24

Witam,

Zadanie: Trójkąt prostokątny, przyprostokątna równa 12 i 9. Obliczyć pole kwadratu zawartego w tym trójkącie, gdzie bok kwadratu jest oparty na przeciwprostokątnej.

Widzę 4 trójkąty podobne i obliczyłem przeciwprostokątną, która jest równa 15 ale nie wiem co dalej

Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Re: Oblicz pole kwadratu zawartego w trójkącie prostokątnym

Post autor: wujomaro » 26 paź 2017, o 21:31

Rysunek przede wszystkim. Potem możesz wykorzystać podobieństwo trójkątów.
Pozdrawiam!

kacper12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 paź 2017, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

Re: Oblicz pole kwadratu zawartego w trójkącie prostokątnym

Post autor: kacper12 » 26 paź 2017, o 21:40

Ostatnio zmieniony 26 paź 2017, o 22:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Re: Oblicz pole kwadratu zawartego w trójkącie prostokątnym

Post autor: wujomaro » 26 paź 2017, o 22:04

Oznacz bok kwadratu jako \(\displaystyle{ a}\) i za pomocą podobieństwa trójkątów(funkcji trygonometrycznych) wyznacz długości poszczególnych odcinków w zależności od \(\displaystyle{ a}\). Np dwa odcinki na która zostanie podzielona przyprostokątna o długości \(\displaystyle{ 9}\). I z tego wyznaczysz wartość \(\displaystyle{ a}\).
Pozdrawiam!

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19204
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Oblicz pole kwadratu zawartego w trójkącie prostokątnym

Post autor: a4karo » 26 paź 2017, o 22:11

A ja mam taki pomysł: (warto spojrzeć na rysunek)
Niech bok kwadratu ma długość \(\displaystyle{ 5x}\) a jego pole to??
Wtedy boki trójkącika przy kącie prostym sa równe \(\displaystyle{ 3x}\) i \(\displaystyle{ 4x}\), a jego pole to ??

Jak przesuniemy do siebie dwa trójkąty prostokątne przy wierzchołkach trójkąta, to dostaniemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ 15-5x}\). Jego pole zatem stanowi \(\displaystyle{ \left(\frac{15-5x}{15}\right)^2}\) wyjściowego trójkąta. Stąd wyliczysz jego pole, czyli sumę pól trójkątów przy wierzchołkach.

Suma pól tych dwóch trójkątów, trójkąta przy kącie prostym i kwadratu muszą dać w sumie pole wyjściowego trójkąta. Stąd wyliczysz \(\displaystyle{ x}\)

kacper12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 paź 2017, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

Re: Oblicz pole kwadratu zawartego w trójkącie prostokątnym

Post autor: kacper12 » 26 paź 2017, o 22:45

wychodzi równo? bo mi wyszło, że \(\displaystyle{ 37a=180}\)

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 251 razy

Oblicz pole kwadratu zawartego w trójkącie prostokątnym

Post autor: Elayne » 27 paź 2017, o 00:42


a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19204
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Oblicz pole kwadratu zawartego w trójkącie prostokątnym

Post autor: a4karo » 27 paź 2017, o 04:19

Czy ja tego nie napisałem?

Tak. Bok tego kwadratu to \(\displaystyle{ 180/37}\)

-- 27 paź 2017, o 05:02 --

Metoda analityczna tez daje szybko wynik:
Umieśćmy trójkąt w układzie współrzędnych. Jego wierzchołki to \(\displaystyle{ A=(12,0), B=(0,9), C=(0,0)}\)
Przeciwprostokątna \(\displaystyle{ AC}\) leży na prostej \(\displaystyle{ 3x+4y=36}\)

Weźmy wierzchołek szukanego kwadratu leżący na osi OX \(\displaystyle{ P=(4t,0), \ 0<t<3}\) (to \(\displaystyle{ 4t}\) to taka sztuczka, żeby uniknąć ułamków). Jego kolega na osi OY ma współrzędne \(\displaystyle{ Q=(0,3t)}\) a ich odległośc to \(\displaystyle{ 5t}\). Musi ona sie równać odległości \(\displaystyle{ P}\) od prostej \(\displaystyle{ AC}\), stąd równanie
\(\displaystyle{ 5t=\frac{|12t-36|}{5}=\frac{36-12t}{5}}\)

skąd \(\displaystyle{ t=\frac{36}{37}}\), a szukany bok to \(\displaystyle{ 5t=\frac{180}{37}}\)

ODPOWIEDZ