Norma a zadawanie iloczynu skalarnego
- Mlody Banach
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 22 lis 2016, o 22:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 15 razy
Norma a zadawanie iloczynu skalarnego
Hej, mam z analizy takie zadanko na boku: Udowodnij, że nie każda norma zadaje iloczyn skalarny. Jak się do tego zabrać?
Re: Norma a zadawanie iloczynu skalarnego
Skojarz z twierdzeniem Jordana-von Neumanna. Ono powie Ci wszystko.
Na płaszczyźnie nie zadają iloczynu skalarnego np. normy taksówkowa czy maksimum.
Na płaszczyźnie nie zadają iloczynu skalarnego np. normy taksówkowa czy maksimum.
- Mlody Banach
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 22 lis 2016, o 22:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 15 razy
Re: Norma a zadawanie iloczynu skalarnego
Nie miałem na wykłądzie tego twierdzenia (nie znam jego dowodu) => nie mogę go używać... Norma taksówka to norma miasto?
Re: Norma a zadawanie iloczynu skalarnego
Nic nie stoi na przeszkodzie, abyś poznał to piękne twierdzenie wraz z równościami polaryzacyjnymi. To podstawowe narzędzie. Norma pochodzi od iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ \iff}\) spełnia warunek równoległoboku: \(\displaystyle{ \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y}\).Mlody Banach pisze:Nie miałem na wykłądzie tego twierdzenia (nie znam jego dowodu) => nie mogę go używać... Norma taksówka to norma miasto?
Tak, normę taksówkową niektórzy nazywają też miejską.
- Mlody Banach
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 22 lis 2016, o 22:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 15 razy
Re: Norma a zadawanie iloczynu skalarnego
Jeśli iloczyn skalarny pochodzi od normy, to łatwo przeliczyć, że spełnione jest równanie równoległoboku i to zrobisz sam. Jeśli spełnione jest równanie równoległoboku, to iloczyn skalarny w przestrzeni rzeczywistej (czyli nad \(\displaystyle{ \RR}\)) jest zadany równością
\(\displaystyle{ \langle x,y\rangle=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right).}\)
Też sprawdź że istotnie jest to iloczyn skalarny. Tylko uważaj - to co po lewej to na razie oznaczenie. Jeśli wolisz, przyjmij
\(\displaystyle{ B(x,y)=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right)}\)
i wykaż, że \(\displaystyle{ B}\) spełnia warunki iloczynu skalarnego.
W przestrzeni zespolonej wzór na iloczyn skalarny jest nieco bardziej skomplikowany.
\(\displaystyle{ \langle x,y\rangle=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right).}\)
Też sprawdź że istotnie jest to iloczyn skalarny. Tylko uważaj - to co po lewej to na razie oznaczenie. Jeśli wolisz, przyjmij
\(\displaystyle{ B(x,y)=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right)}\)
i wykaż, że \(\displaystyle{ B}\) spełnia warunki iloczynu skalarnego.
W przestrzeni zespolonej wzór na iloczyn skalarny jest nieco bardziej skomplikowany.