Norma a zadawanie iloczynu skalarnego

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Awatar użytkownika
Mlody Banach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 22 lis 2016, o 22:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 15 razy

Norma a zadawanie iloczynu skalarnego

Post autor: Mlody Banach » 26 paź 2017, o 19:56

Hej, mam z analizy takie zadanko na boku: Udowodnij, że nie każda norma zadaje iloczyn skalarny. Jak się do tego zabrać?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Norma a zadawanie iloczynu skalarnego

Post autor: szw1710 » 26 paź 2017, o 20:01

Skojarz z twierdzeniem Jordana-von Neumanna. Ono powie Ci wszystko.

Na płaszczyźnie nie zadają iloczynu skalarnego np. normy taksówkowa czy maksimum.

Awatar użytkownika
Mlody Banach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 22 lis 2016, o 22:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 15 razy

Re: Norma a zadawanie iloczynu skalarnego

Post autor: Mlody Banach » 26 paź 2017, o 21:02

Nie miałem na wykłądzie tego twierdzenia (nie znam jego dowodu) => nie mogę go używać... Norma taksówka to norma miasto?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Norma a zadawanie iloczynu skalarnego

Post autor: szw1710 » 26 paź 2017, o 21:12

Mlody Banach pisze:Nie miałem na wykłądzie tego twierdzenia (nie znam jego dowodu) => nie mogę go używać... Norma taksówka to norma miasto?
Nic nie stoi na przeszkodzie, abyś poznał to piękne twierdzenie wraz z równościami polaryzacyjnymi. To podstawowe narzędzie. Norma pochodzi od iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ \iff}\) spełnia warunek równoległoboku: \(\displaystyle{ \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y}\).

Tak, normę taksówkową niektórzy nazywają też miejską.

Awatar użytkownika
Mlody Banach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 22 lis 2016, o 22:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 15 razy

Re: Norma a zadawanie iloczynu skalarnego

Post autor: Mlody Banach » 26 paź 2017, o 21:17

Umiałbyś udowodnić tę równoważność?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Norma a zadawanie iloczynu skalarnego

Post autor: szw1710 » 26 paź 2017, o 21:22

Jeśli iloczyn skalarny pochodzi od normy, to łatwo przeliczyć, że spełnione jest równanie równoległoboku i to zrobisz sam. Jeśli spełnione jest równanie równoległoboku, to iloczyn skalarny w przestrzeni rzeczywistej (czyli nad \(\displaystyle{ \RR}\)) jest zadany równością

\(\displaystyle{ \langle x,y\rangle=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right).}\)

Też sprawdź że istotnie jest to iloczyn skalarny. Tylko uważaj - to co po lewej to na razie oznaczenie. Jeśli wolisz, przyjmij

\(\displaystyle{ B(x,y)=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right)}\)

i wykaż, że \(\displaystyle{ B}\) spełnia warunki iloczynu skalarnego.

W przestrzeni zespolonej wzór na iloczyn skalarny jest nieco bardziej skomplikowany.

ODPOWIEDZ