Wnętrze i domknięcie zbioru

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Awatar użytkownika
alchem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 10 cze 2014, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 5 razy

Wnętrze i domknięcie zbioru

Post autor: alchem » 26 paź 2017, o 19:16

Hej mam pewien problem.
Znaleźć przykład zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR}\), dla którego zbiory: \(\displaystyle{ A, Int(A),Cl(A),Int(Cl(A)),Cl(Int(A)),Int(Cl(Int(A))),Cl(Int(Cl(A)))}\) są parami różne, może nie chcę od razu odpowiedzi a jedynie jakąś wskazówkę.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27298
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Re: Wnętrze i domknięcie zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 26 paź 2017, o 19:56

Może zacznij mniej ambitnie: najpierw dla dwóch, potem dla trzech itd.

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19210
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Wnętrze i domknięcie zbioru

Post autor: a4karo » 26 paź 2017, o 19:59

Jako ciekawostkę warto dodać, że w ten sposób (tzn. korzystając z operacji domykania i brania wnętrza) można dostać najwyżej \(\displaystyle{ 14}\) różnych zbiorów (Kuratowski)

EDIT: nie. \(\displaystyle{ 14}\) zbiorów dostajemy stosując operacje domykania i dopełnienia.
Ostatnio zmieniony 26 paź 2017, o 20:59 przez a4karo, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
alchem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 10 cze 2014, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wnętrze i domknięcie zbioru

Post autor: alchem » 26 paź 2017, o 20:23

Dla \(\displaystyle{ A, Int(A),Cl(A)}\) to żadna sztuka, ale dla \(\displaystyle{ A, Int(A),Cl(A),Int(Cl(A))}\) od razu pojawia się problem, może polega on na tym, że nie mogę uciec poza \(\displaystyle{ \RR^2}\) w swoich rozważaniach albo uparcie patrzę na metrykę euklidesową, nie mam pojęcia.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19210
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Wnętrze i domknięcie zbioru

Post autor: a4karo » 26 paź 2017, o 20:27

Da się to zrobić na prostej

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9426
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2072 razy

Re: Wnętrze i domknięcie zbioru

Post autor: Dasio11 » 26 paź 2017, o 20:28

a4karo pisze:Jako ciekawostkę warto dodać, że w ten sposób (tzn. korzystając z operacji domykania i brania wnętrza) można dostać najwyżej \(\displaystyle{ 14}\) różnych zbiorów (Kuratowski)
A nie domykania i dopełniania? Wydaje mi się, że wypisane przez autora tematu zbiory wyczerpują wszystkie możliwości, a to dopiero \(\displaystyle{ 7.}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19210
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Wnętrze i domknięcie zbioru

Post autor: a4karo » 26 paź 2017, o 20:37

Tak, masz rację. W zadaniu Kuratowskiego chodziło o operacje domykania i dopełniania. Przepraszam.

Awatar użytkownika
alchem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 10 cze 2014, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wnętrze i domknięcie zbioru

Post autor: alchem » 26 paź 2017, o 20:59

W tej chwili nie mam pojęcia co to może być, ale noc jeszcze długa.
Jak rano już nic nie wymyślę, to będę zmuszony prosić o gotowca.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19210
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Wnętrze i domknięcie zbioru

Post autor: a4karo » 26 paź 2017, o 21:01

alchem pisze:Dla \(\displaystyle{ A, Int(A),Cl(A)}\) to żadna sztuka, ale dla \(\displaystyle{ A, Int(A),Cl(A),Int(Cl(A))}\) od razu pojawia się problem, może polega on na tym, że nie mogę uciec poza \(\displaystyle{ \RR^2}\) w swoich rozważaniach albo uparcie patrzę na metrykę euklidesową, nie mam pojęcia.
A co powiesz na \(\displaystyle{ A=\QQ}\)?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Wnętrze i domknięcie zbioru

Post autor: leg14 » 26 paź 2017, o 21:42

\(\displaystyle{ cl(\QQ) = int(cl(\QQ))}\).
Ja proponuję Ci wziąć sumę paru przedziałów - jednego otwartego, jednego domkniętego, jednego przedziału z wyrzuconym punktem

Awatar użytkownika
alchem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 10 cze 2014, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wnętrze i domknięcie zbioru

Post autor: alchem » 26 paź 2017, o 22:16

a4karo pisze:A co powiesz na \(\displaystyle{ A=\QQ}\)?
Wtedy:
\(\displaystyle{ Int(A) = \emptyset \\ Cl(A)= \RR\\ Int(Cl(A))=Int(\RR)=\RR}\)
Więc już nie są parami różne, tak jak leg14 zauważył.
leg14 pisze:Ja proponuję Ci wziąć sumę paru przedziałów - jednego otwartego, jednego domkniętego, jednego przedziału z wyrzuconym punktem
\(\displaystyle{ A=[a,b] \cup (c,d) \cup \left( (e.f] \setminus \{g\}\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b...,g \in \QQ}\), różne
\(\displaystyle{ Int(A)=(a,b) \cup (c,d) \cup (e,g) \cup (g,f)\\ Cl(A)=[a,b] \cup [c,d] \cup [e,f] \\ Int(Cl(A))=(a,b) \cup (c,d) \cup (e,f)\\ Cl(Int(A))=[a,b] \cup [c,d] \cup [e,f] = Cl(A)}\)

Dla tych czterech się zgadza, dalej już lipa.
Ostatnio zmieniony 26 paź 2017, o 22:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie zostawiaj pustych linii w tagach [latex] [/latex]. Nowa linia to \\.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19210
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Wnętrze i domknięcie zbioru

Post autor: a4karo » 26 paź 2017, o 22:19

Ale jak weźmiesz \(\displaystyle{ (a,b)\cap \QQ}\) to ...

Awatar użytkownika
alchem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 10 cze 2014, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wnętrze i domknięcie zbioru

Post autor: alchem » 26 paź 2017, o 22:24

Do zbioru wyżej dodałem rozłączny pkt \(\displaystyle{ h}\) i jest już 5 różnych, zostały jeszcze dwa...
a4karo pisze:Ale jak weźmiesz \(\displaystyle{ (a,b)\cap \QQ}\) to ...
Już to analizuję.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19210
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Wnętrze i domknięcie zbioru

Post autor: a4karo » 26 paź 2017, o 22:26

Albo \(\displaystyle{ (a,b]\cap \QQ}\)

Awatar użytkownika
alchem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 10 cze 2014, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wnętrze i domknięcie zbioru

Post autor: alchem » 26 paź 2017, o 22:35

Chyba czegoś nie rozumiem, jeśli wezmę nawet taki przedział jak mój z iloczynem liczb wymiernych, to wnętrze będzie zbiorem pustym, i mamy \(\displaystyle{ Int(A)= \emptyset = Cl(Int(A))}\)

ODPOWIEDZ