Matematyka.pl

Mam takie zadanie. Niech \(\displaystyle{ (B_{t}, t\in[0,1])}\). Wykazać, że proces \(\displaystyle{ X_{t}=(1+t)(B_{\frac{t}{t+1}}-\frac{t}{1+t}B_{1}) , t\geq0}\) jest procesem ruchu Browna.

Zastanawiam się, czy policzenie kowariancji \(\displaystyle{ cov(X_{t},X_{s})=\min \{s,t\}=t}\) gdy \(\displaystyle{ s\geq t}\) wystarcza na pokazanie, że \(\displaystyle{ X_{t}}\) jest procesem ruchu Browna? Czy muszę jakoś pokazać, że trajektorie procesu są ciągłe?

Mamy \(\displaystyle{ \{ B_{t}, t\in [0, 1] \}}\) - most Browna - wystarczy więc wykazać, tak jak przypuszczasz

- niezależność i ciągłość przyrostu procesu:

\(\displaystyle{ X_{t} = (1+t)\cdot B_{\frac{t}{t+1}}- t\cdot B_{1}, \ \ t\geq 0.}\)

Żeby pokazać niezależność przyrostów można sprawdzić, że \(\displaystyle{ cov(X_{t},X_{t+1}-X_{t})=cov(X_{t},X_{t+1})-cov(X_{t},X_{t})=0}\)?

Tak.