Równość rzędów

[ReallyGrid]

Mam do pokazania, że jeśli \(\displaystyle{ a, b \in G}\), to \(\displaystyle{ ab}\) i \(\displaystyle{ ba}\) mają ten sam rząd.
Zalazłem tutaj takie wyjaśnienie

\(\displaystyle{ (ba)^n=baba...ba=b(ab)^{n-1}a=b(ab)^n(ab)^{-1}a=bb^{-1}a^{-1}a=1}\)
zatem \(\displaystyle{ rz(ba) \le n=rz(ab)}\). Rozumując podobnie w drugą stronę, mamy: \(\displaystyle{ rz(ab) \le rz(ba)}\), czyli \(\displaystyle{ rz(ab)=rz(ba)}\), o ile jeden z nich jest skończony.
Oczywiste jest tez teraz, ze jesli jeden z nich jest nieskonczony, to drugi rowniez.

Ale nie rozumiem równości: \(\displaystyle{ b(ab)^n(ab)^{-1}a=bb^{-1}a^{-1}a}\). Mógłby ktoś napisać skąd się ona bierze?

[Jan Kraszewski]

Zakładasz. że \(\displaystyle{ ab}\) ma rząd \(\displaystyle{ n}\), więc \(\displaystyle{ (ab)^n=e}\). Ponadto \(\displaystyle{ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}}\).

JK