dowód, silnia, podzielność

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
takamatematyka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 30 sie 2017, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łowicz
Podziękował: 9 razy

dowód, silnia, podzielność

Post autor: takamatematyka » 26 paź 2017, o 11:18

Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ y>5}\), \(\displaystyle{ y!}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 9}\)
Ostatnio zmieniony 26 paź 2017, o 11:32 przez AiDi, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Brak LateXa.

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3637
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 676 razy

dowód, silnia, podzielność

Post autor: AiDi » 26 paź 2017, o 11:31

Żeby liczba była podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\) to w jej rozkładzie na czynniki pierwsze musi się pojawić co najmniej dwa razy liczba \(\displaystyle{ 3}\). Zastanów się skąd te dwie \(\displaystyle{ 3}\) mogą się brać.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3143
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1069 razy

Re: dowód, silnia, podzielność

Post autor: Janusz Tracz » 26 paź 2017, o 18:06

Może wydać się to nadmiarowe ale można to zrobić indukcyjnie.
1) \(\displaystyle{ \frac{6!}{9}\in\ZZ}\)
2) \(\displaystyle{ \frac{y!}{9}=k\in\ZZ \Rightarrow \frac{(y+1)!}{9}=k(y+1)\in\ZZ}\)
Co kończy dowód.
Oczywiście \(\displaystyle{ y\in \NN}\) i \(\displaystyle{ y \ge 6}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19198
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3246 razy

Re: dowód, silnia, podzielność

Post autor: a4karo » 26 paź 2017, o 18:54

Trochę nadmiarowe, zważywszy, że
\(\displaystyle{ 9\cdot 80=720=6!|y!}\)

ODPOWIEDZ