Obliczanie wektorów własnych macierzy.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Scrub
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 4 paź 2016, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Obliczanie wektorów własnych macierzy.

Post autor: Scrub » 25 paź 2017, o 21:33

Mamy macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&-2\\1&0\end{array}\right]}\)

Jej wartości własne:
\(\displaystyle{ t_{1}=1, t_{2}=2}\)

Obliczanie wektora własnego dla \(\displaystyle{ t_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-2\\1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]=0}\)
Tworzę układ równań i wychodzi, że w obu jego wierszach jest \(\displaystyle{ x = y}\), na podstawie poradników z yt (i kalkulatora) wiem, że wtedy mamy wektor \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\1\end{array}\right]}\)

Robię podobnie dla \(\displaystyle{ t_{2}=1}\) i dostaję (znów w obu wierszach) \(\displaystyle{ x = 2y}\) - czy tu mamy wektor \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\2\end{array}\right]}\)? W kalkulatorze dostałem \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2\\1\end{array}\right]}\) to jest "to samo"?

https://www.symbolab.com/solver/step-by ... pmatrix%7D

Ogólnie to dobrze rozumiem, że te wektory nie opisują konkretnych wartości tylko stosunek \(\displaystyle{ x}\) do \(\displaystyle{ y}\)? Czyli wtedy takie pary wektorów są równoważne:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\1\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2\\2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3\\4\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}6\\8\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\5\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\7\end{array}\right]}\)
?

Awatar użytkownika
jutrvy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1202
Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 239 razy

Obliczanie wektorów własnych macierzy.

Post autor: jutrvy » 25 paź 2017, o 23:10

Scrub pisze:Mamy macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&-2\\1&0\end{array}\right]}\)

Jej wartości własne:
\(\displaystyle{ t_{1}=1, t_{2}=2}\)

Obliczanie wektora własnego dla \(\displaystyle{ t_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-2\\1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]=0}\)
Hola, hola - przyjacielu, chyba chodziło o

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-2\\1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right]}\)-- 25 paź 2017, o 23:11 --
Scrub pisze: Ogólnie to dobrze rozumiem, że te wektory nie opisują konkretnych wartości tylko stosunek \(\displaystyle{ x}\) do \(\displaystyle{ y}\)? Czyli wtedy takie pary wektorów są równoważne:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\1\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2\\2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3\\4\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}6\\8\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\5\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\7\end{array}\right]}\)
?
Bardzo, bardzo źle rozumiesz

Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Re: Obliczanie wektorów własnych macierzy.

Post autor: NogaWeza » 25 paź 2017, o 23:31

jutrvy, chyba można napisać \(\displaystyle{ 0}\) zamiast \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right]}\), oczywiście jeśli się wie, że chodzi o wektor zerowy. W przeciwnym wypadku wymiary prawej i lewej strony się nie zgadzają. Początkującym odradzam takie skróty myślowe, ale też nie uznaję tego za ogromny błąd.

Takie układy jak \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-2\\1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]=0}\) to jednak absolutna klasyka algebry liniowej i powinieneś umieć je rozwiązywać (w szczególności parametryzować rozwiązania), a nie używać kalkulatora czy youtube'a. Nikt Ci nie każe tego na piechotę liczyć w przypadku \(\displaystyle{ 10 \times 10}\), ale jednak bez rzetelnego przerobienia podstawowych przykładów ciężko liczyć na zrozumienie zagadnienia. Widać, że poruszasz się w temacie po omacku, bo brakuje Ci podstaw i wiedzy teoretycznej.

Scrub
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 4 paź 2016, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Re: Obliczanie wektorów własnych macierzy.

Post autor: Scrub » 26 paź 2017, o 18:50

Oczywiście chodzi o wektor zerowy.
Więc jak obliczyć taki układ? Kiedyś rozwiązywałem podobny, ale tam nie było wektora zerowego tylko parametry, mnożyło się wtedy przez macierz odwrotną. Ale tu są same zera, więc po pomnożeniu wszystko by się wyzerowało :/

No więc mając
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-2\\1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right]}\)
można ułożyć odpowiedni układ równań, z którego wiadomo tylko, że \(\displaystyle{ x = y}\), a wektor własny to \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\1\end{array}\right]}\). Czy dlatego, że \(\displaystyle{ 1 \cdot x = 1 \cdot y}\)?
W tym linku do kalkulatora co dałem wyżej można podejrzeć rozwiązanie krok po kroku, i tam w jednym momencie jest \(\displaystyle{ \mathrm{Let\:}y=1}\) czyli po prostu sobie podstawił jedynkę.
Tu podobne rozumowanie: https://www.youtube.com/watch?v=R5ypagfCvbU

To jak z tym cholerstwem jest?

ODPOWIEDZ