Norma z całką

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
degel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 193
Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 64 razy

Norma z całką

Post autor: degel123 » 25 paź 2017, o 20:47

Witam mam udowodnić że poniższe odwzorowanie to norma:

\(\displaystyle{ N(x,y)= \int_{0}^{1} \left| x+ty\right| dt}\)

Mógłby ktoś dać kilka wskazówek co tu zrobić? 3 różne zmienne + wartość bezwzględna pod całka to trochę komplikuje

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19226
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Norma z całką

Post autor: a4karo » 25 paź 2017, o 20:55

Ale norma w jakiej przestrzeni?

degel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 193
Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 64 razy

Re: Norma z całką

Post autor: degel123 » 25 paź 2017, o 21:00

\(\displaystyle{ R ^{2}}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15212
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5047 razy

Re: Norma z całką

Post autor: Premislav » 25 paź 2017, o 21:01

No zapewne w \(\displaystyle{ \RR^2}\), chociaż w \(\displaystyle{ \CC^2}\) też by przeszło.
To naprawdę nie jest trudne, nie bój się paru zmiennych i innych atrakcji.
Wskazówka do warunku
\(\displaystyle{ N(x,y)=0 \Leftrightarrow (x,y)=(0,0)}\):
funkcja ciągła i nieujemna ma całkę zero na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) wtedy i tylko wtedy, gdy jest stale równa zero na tymże przedziale.
Drugi warunek: \(\displaystyle{ N(ax,ay)=|a|N(x,y)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in \RR}\) jest raczej bardzo prosty do wykazania, wystarczy wiedzieć, że
\(\displaystyle{ |u\cdot v|=|u|\cdot |v|}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ u,v \in \RR}\)
oraz że całka oznaczona jest operatorem liniowym(tj. w szczególności dla całkowalnej \(\displaystyle{ f}\) i dowolnej stałej \(\displaystyle{ a}\) mamy
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} a\cdot f(t) \,\dd t=a\cdot \int_{0}^{1} f(t)\,\dd t}\)).

Trzeci warunek można pokazać z monotoniczności całki oznaczonej, no i po drodze zwykła nierówność trójkąta dla wartości bezwzględnej. Rozpisz to sobie, w razie problemów napisz do czego doszedłeś.
Masz pokazać, że dla dowolnych wektorów z \(\displaystyle{ \RR^2}\): \(\displaystyle{ (x_1, y_1)}\) i \(\displaystyle{ (x_2, y_2)}\) zachodzi
\(\displaystyle{ N((x_1, y_1)+(x_2, y_2))\le N(x_1, y_1)+N(x_2, y_2)}\).
Zapisz odpowiednie całki i spróbuj zastosować to, co napisałem wyżej.

degel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 193
Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 64 razy

Re: Norma z całką

Post autor: degel123 » 25 paź 2017, o 21:30

Dzięki za błyskawiczną pomoc, nie wiedziałem jak ugryźć ten pierwszy warunek, ale już wszystko kumam

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19226
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Norma z całką

Post autor: a4karo » 25 paź 2017, o 21:39

Zabawne:

\(\displaystyle{ N(x,y)=\begin{cases}\left|x+\frac{y}{2}\right| & \text{gdy } x(x+y)\geq 0\\ \left|\frac{(2x+y)^2+y^2}{4y}\right|&\text{w przeciwnym przypadku}\end{cases}}\)

ale pokazanie, że jest to norma jest dużo prostsze w postaci całkowej, niż w tej własnie

EDIT: był błąd w rachunkach

ODPOWIEDZ