Dowód indukcyjny na wzór sumy n wyrazów w ciągu arytm.

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
Wiikussia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 25 paź 2017, o 12:10
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

Dowód indukcyjny na wzór sumy n wyrazów w ciągu arytm.

Post autor: Wiikussia » 25 paź 2017, o 13:44

Witam, mam problem z zadaniem, nie wiem co dalej zrobić, mógłby ktoś zerkąć?
Oto polecenie:
Udowodnij wzór na sumę n wyrazów w ciągu arytmetycznym.
\(\displaystyle{ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}n}\)

1.sprawdzenie dla n=1
\(\displaystyle{ L= S_1= a_1}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{a_1+a_1}{2}n= \frac{2a _{1} }{2}= a_{1}}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)

2.założenie dla n=k
\(\displaystyle{ S_k=\frac{a_1+a_k}{2}k}\)

teza dla n=k+1
\(\displaystyle{ S_{k+1}=\frac{a_1+a_{k+1}}{2}(k+1)}\)

dowód tezy:
\(\displaystyle{ S_{k+1}= S_{k}+ a_{k+1}=}\)..... dalej nie ma pojecia? I przy okazji jakby mógł to ktoś wytłumaczyć

Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Re: Dowód indukcyjny na wzór sumy n wyrazów w ciągu arytm.

Post autor: Pakro » 25 paź 2017, o 14:46

Ja mam trochę inny pomysł:
\(\displaystyle{ S=1+2+\ldots +(n-1)}\)
\(\displaystyle{ S=(n-1)+(n-2)+\ldots+1}\)
Dodajemy stronami i stąd \(\displaystyle{ S=\frac{n(n-1)}{2}}\).
\(\displaystyle{ S_n=a_1+\ldots +a_n=a_1+a_1+r+\ldots +a_1 +(n-1)r=n a_1+r(1+2+\ldots (n-1))=na_1+r\frac{n(n-1)}{2}=\frac{2na_1 +rn(n-1)}{2}=n\frac{a_1+a_1 +r(n-1)}{2}=n\frac{a_1+a_n}{2}}\)

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6756
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 1093 razy

Re: Dowód indukcyjny na wzór sumy n wyrazów w ciągu arytm.

Post autor: kruszewski » 25 paź 2017, o 15:24

Czy ten pomysł nie pochodzi od bardzo młodego Gaussa?
Nie nazwałbym go indukcyjnym.

Wiikussia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 25 paź 2017, o 12:10
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

Re: Dowód indukcyjny na wzór sumy n wyrazów w ciągu arytm.

Post autor: Wiikussia » 25 paź 2017, o 15:38

kruszewski pisze:Czy ten pomysł nie pochodzi od bardzo młodego Gaussa?
Nie nazwałbym go indukcyjnym.
Od mojego nauczyciela z matematyki

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6756
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 1093 razy

Re: Dowód indukcyjny na wzór sumy n wyrazów w ciągu arytm.

Post autor: kruszewski » 25 paź 2017, o 16:16

Moje pytanie było skierowane do kolegi Pakro.

Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Re: Dowód indukcyjny na wzór sumy n wyrazów w ciągu arytm.

Post autor: Pakro » 25 paź 2017, o 20:24

Z tego co wiem to pierwsza część tak. O drugiej nie słyszałem
Lepiej zacząć od drugiej strony:
\(\displaystyle{ S_{k+1}=\frac{a_1+a_{k+1}}{2}(k+1)=\frac{a_1+a_k+r}{2}(k+1)=\frac{a_1+a_k}{2}(k+1)+\frac{r}{2}(k+1)=S_k+\frac{a_1+a_k}{2}+\frac{r}{2}(k+1)=S_k+\frac{a_1+a_1 +(k-1)r+(k+1)r}{2}=S_k+\frac{2(a_1+rk)}{2}=S_k+a_{k+1}}\)

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6756
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 1093 razy

Re: Dowód indukcyjny na wzór sumy n wyrazów w ciągu arytm.

Post autor: kruszewski » 26 paź 2017, o 00:31

Wstydliwie?
Indukcja nie może być od tyłu. Należy wykonać kolejne kroki indukcyjne.-- 26 paź 2017, o 02:13 --Pierwsze co trzeba zrobić, to wykazać słuszność tego o co podejrzewamy tezę, że jest słuszna dla \(\displaystyle{ n=1}\).
Jest to pierwszy krok indukcyjny. I konieczny do wykonania.
Później trzeba sie upewnić, że wzór wg tezy jest słuszny dla \(\displaystyle{ n=k}\)
A następnie jest to drugi krok indukcyjny, że jest też słuszny dla \(\displaystyle{ n=k+1}\). Jeżeli jest słuszny dla \(\displaystyle{ n=k+1}\) to będzie słuszny dla każdego \(\displaystyle{ n}\) jeżeli jest słuszny dla \(\displaystyle{ k}\)
\(\displaystyle{ a_1+ a_2 +a_3 +....+ a_{n-1} + a_k = \frac{1}{2} (a_1+a_k) \cdot k}\)
Sprawdzamy dowolnym sposobem i stwierdzamy, że równość zachodzi.

Pytamy teraz czy równość wg tezy zachodzi dla \(\displaystyle{ n= k+1}\), czyli czemu równa jest suma:
\(\displaystyle{ a_1 + a_2 +a_3 +...+a_ k + a_{k+1}= ?}\)

sposobem młodego Gaussa:
\(\displaystyle{ (a_1 + a_n) + (a_2 +a_{n-1} + (a_3 - a_{n-2} + ... + (a_{n-1} + a_ 2) + a_n + a_1)}\)
i rowijając mamy:
\(\displaystyle{ (a_1+a_n) + (a_1 +(a_2-a_1)) + ... + a_n - 2(a_2-a_1) + a_1+2(a_2-a_1)+ a_n-(a_2-a_1) + a_n +a_1}\)
Po redukcji otrzymujemy \(\displaystyle{ 2n}\) sum \(\displaystyle{ a_1+a_n}\) , zatem jedna suma jest połową wyniku, czyli \(\displaystyle{ S_{n=k+1} = \frac{1}{2} (a_1 + a_{n=k+1} ) \cdot (n=k+1)}\)
Zatem wzór wg tezy zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ n = k+1}\) jeżeli jest pawdziwy dla k .
A jest bo w drugim kroku sprawdziliśmy jego słuszność dla \(\displaystyle{ k}\)


Proszę, nie urwicie mi głowy za ten wywód.

Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Re: Dowód indukcyjny na wzór sumy n wyrazów w ciągu arytm.

Post autor: Pakro » 26 paź 2017, o 20:28

kruszewski,
"Indukcja nie może być od tyłu. Należy wykonać kolejne kroki indukcyjne."

Krok indukcyjny jest jeden, który w moim można przepisać od końca.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19198
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3246 razy

Re: Dowód indukcyjny na wzór sumy n wyrazów w ciągu arytm.

Post autor: a4karo » 26 paź 2017, o 20:55

Zaczynanie od równości, którą trzeba pokazać nie jest estetyczne. Jeżeli ona nie jest prawdziwa, to może się okazać, że na końcu dostaniesz jakąś prawdę, ale z tego nic nie wynika. Chyba, że na każdym kroku wykonujesz przekształcenia równoważne.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6756
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 1093 razy

Re: Dowód indukcyjny na wzór sumy n wyrazów w ciągu arytm.

Post autor: kruszewski » 27 paź 2017, o 16:34

Pakro pisze: "Krok indukcyjny jest jeden" Tu ma Pan rację, choć sam dowód nie jest jednokrokowy i wymaga wykonania kroków w kolejności.

ODPOWIEDZ