Udowodnić odwzorowanie homomorficzne

[Kalkulatorek]

Udowodnić, ze grupa \(\displaystyle{ C_8}\) z dodawaniem modulo odwzorowuje się homomorficznie w grupę \(\displaystyle{ C_4}\).
Wpadłem na pomysł, że odpowednim homomorfizmem byłoby \(\displaystyle{ f(x) = x \mod 4}\), nie mam jednak pomysłu, jak udowodnić, że \(\displaystyle{ (x+_8 y) \mod 4 = x \mod 4 +_4 y\mod 4}\), w jaki sposób najlepiej się za to zabrać?

[Jan Kraszewski]

Udowodnić, ze grupa \(\displaystyle{ C_8}\) z dodawaniem modulo odwzorowuje się homomorficznie w grupę \(\displaystyle{ C_4}\).

Sugerowałbym jednak standardowe \(\displaystyle{ \ZZ_8}\) i \(\displaystyle{ \ZZ_4}\).

JK

[Kalkulatorek]

Sugerowałbym jednak standardowe \(\displaystyle{ \ZZ_8}\) i \(\displaystyle{ \ZZ_4}\).

JK

Czy \(\displaystyle{ \ZZ}\)to nie są w domyśle pierścienie? A w zadaniu chodzi o homomorfizm grup, nie pierścieni.

[Jan Kraszewski]

Nie, to nie są domyślnie pierścienie.

JK

[Premislav]

Odchodząc od dyskusji notacyjnej:

Wpadłem na pomysł, że odpowednim homomorfizmem byłoby \(\displaystyle{ f(x) = x \mod 4}\), nie mam jednak pomysłu, jak udowodnić, że \(\displaystyle{ (x+_8 y) \mod 4 = x \mod 4 +_4 y\mod 4}\), w jaki sposób najlepiej się za to zabrać?

wpadłeś na dobry pomysł, a w celu udowodnienia, że istotnie jest to homomorfizm grup, możesz skorzystać z następującego faktu: dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in \ZZ , \ n \in \NN^+}\) mamy
\(\displaystyle{ a\equiv b \pmod{n} \Leftrightarrow n|(a-b)}\), czyli po polsku:
dwie liczby całkowite dają tę samą resztę z dzielenia przez liczbę naturalną dodatnią \(\displaystyle{ n}\) dokładnie wtedy, gdy ich różnica dzieli się przez \(\displaystyle{ n.}\)