Udowodnić odwzorowanie homomorficzne

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Udowodnić odwzorowanie homomorficzne

Post autor: Kalkulatorek » 24 paź 2017, o 22:45

Udowodnić, ze grupa \(\displaystyle{ C_8}\) z dodawaniem modulo odwzorowuje się homomorficznie w grupę \(\displaystyle{ C_4}\).
Wpadłem na pomysł, że odpowednim homomorfizmem byłoby \(\displaystyle{ f(x) = x \mod 4}\), nie mam jednak pomysłu, jak udowodnić, że \(\displaystyle{ (x+_8 y) \mod 4 = x \mod 4 +_4 y\mod 4}\), w jaki sposób najlepiej się za to zabrać?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Udowodnić odwzorowanie homomorficzne

Post autor: Jan Kraszewski » 24 paź 2017, o 23:04

Kalkulatorek pisze:Udowodnić, ze grupa \(\displaystyle{ C_8}\) z dodawaniem modulo odwzorowuje się homomorficznie w grupę \(\displaystyle{ C_4}\).
Sugerowałbym jednak standardowe \(\displaystyle{ \ZZ_8}\) i \(\displaystyle{ \ZZ_4}\).

JK

Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Udowodnić odwzorowanie homomorficzne

Post autor: Kalkulatorek » 24 paź 2017, o 23:36

Jan Kraszewski pisze: Sugerowałbym jednak standardowe \(\displaystyle{ \ZZ_8}\) i \(\displaystyle{ \ZZ_4}\).

JK
Czy \(\displaystyle{ \ZZ}\)to nie są w domyśle pierścienie? A w zadaniu chodzi o homomorfizm grup, nie pierścieni.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Udowodnić odwzorowanie homomorficzne

Post autor: Jan Kraszewski » 25 paź 2017, o 00:02

Nie, to nie są domyślnie pierścienie.

JK

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Udowodnić odwzorowanie homomorficzne

Post autor: Premislav » 25 paź 2017, o 00:14

Odchodząc od dyskusji notacyjnej:
Wpadłem na pomysł, że odpowednim homomorfizmem byłoby \(\displaystyle{ f(x) = x \mod 4}\), nie mam jednak pomysłu, jak udowodnić, że \(\displaystyle{ (x+_8 y) \mod 4 = x \mod 4 +_4 y\mod 4}\), w jaki sposób najlepiej się za to zabrać?
wpadłeś na dobry pomysł, a w celu udowodnienia, że istotnie jest to homomorfizm grup, możesz skorzystać z następującego faktu: dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in \ZZ , \ n \in \NN^+}\) mamy
\(\displaystyle{ a\equiv b \pmod{n} \Leftrightarrow n|(a-b)}\), czyli po polsku:
dwie liczby całkowite dają tę samą resztę z dzielenia przez liczbę naturalną dodatnią \(\displaystyle{ n}\) dokładnie wtedy, gdy ich różnica dzieli się przez \(\displaystyle{ n.}\)

ODPOWIEDZ