pochodna z logarytmem

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
tymczasowy97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 10 paź 2017, o 15:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nisko
Podziękował: 3 razy

pochodna z logarytmem

Post autor: tymczasowy97 » 24 paź 2017, o 21:25

\(\displaystyle{ f(x) = \ln a \cdot x}\)
Ostatnio zmieniony 24 paź 2017, o 21:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27296
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: pochodna z logarytmem

Post autor: Jan Kraszewski » 24 paź 2017, o 21:42

Masz pochodną funkcji liniowej. W czym problem?

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19203
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: pochodna z logarytmem

Post autor: a4karo » 24 paź 2017, o 22:10

Jan Kraszewski pisze:Masz pochodną funkcji liniowej. W czym problem?

JK
A nie było tam \(\displaystyle{ \ln_a x}\)?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23223
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3180 razy

Re: pochodna z logarytmem

Post autor: piasek101 » 24 paź 2017, o 22:11

Było.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27296
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: pochodna z logarytmem

Post autor: Jan Kraszewski » 24 paź 2017, o 22:19

piasek101 pisze:Było.
Nie było.

Po pierwsze, zapis \(\displaystyle{ \ln_a x}\) nie ma sensu. Po drugie, jak zajrzycie do Kosza, to znajdziecie pierwotną wersję tego posta...

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19203
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: pochodna z logarytmem

Post autor: a4karo » 24 paź 2017, o 22:30

Jan Kraszewski pisze:
piasek101 pisze:Było.
Nie było.

Po pierwsze, zapis \(\displaystyle{ \ln_a x}\) nie ma sensu. Po drugie, jak zajrzycie do Kosza, to znajdziecie pierwotną wersję tego posta...

JK
Fakt, że zapis nie ma sensu, nie znaczy, że nie mogło go być. W końcu sam to napisałeś

Faktem jest, że ten post, który widziałęm nie był tym w koszu. Post zawierał jedną linijkę za wzorem, żadnych pytań ani komentarzy.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27296
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: pochodna z logarytmem

Post autor: Jan Kraszewski » 24 paź 2017, o 22:58

Poprzedni zapis przed moją edycją to nie było \(\displaystyle{ \ln_a x}\) tylko \(\displaystyle{ \ln_a \cdot x}\), więc sięgnąłem do Kosza, a tam nieregulaminowy dubel wskazujący na to, co zapewne autor miał na myśli.

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19203
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: pochodna z logarytmem

Post autor: a4karo » 24 paź 2017, o 23:51

Do roboty.
Wsk: zróżniczkuj tożsamość \(\displaystyle{ a^{\log_a x} =x}\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27296
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: pochodna z logarytmem

Post autor: Jan Kraszewski » 25 paź 2017, o 00:03

a4karo pisze:Wsk: zróżniczkuj tożsamość \(\displaystyle{ a^{\log_a x} =x}\)


Nie łapię...

JK

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: pochodna z logarytmem

Post autor: Premislav » 25 paź 2017, o 00:10

Ja też nie.
Może chodzi o coś takiego (swoją drogą \(\displaystyle{ a}\) powinno być dodatnie i różne od jedynki):
niech\(\displaystyle{ f(x)=\log_a x}\), wtedy
\(\displaystyle{ a^{f(x)}=x}\)
Po zróżniczkowaniu stronami (wzór na pochodną funkcji złożonej):
\(\displaystyle{ \ln a \cdot a^{f(x)}\cdot f'(x)=1\\f'(x)= \frac{1}{\ln a \cdot a^{f(x)}}=\frac{1}{x\cdot \ln a}}\)
Ale uważam, że o wiele prościej jest zamienić podstawę logarytmu na \(\displaystyle{ e}\) i potem różniczkować (choć zapewne to kwestia gustu).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27296
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: pochodna z logarytmem

Post autor: Jan Kraszewski » 25 paź 2017, o 00:12

Premislav pisze:Może chodzi o coś takiego (swoją drogą \(\displaystyle{ a}\) powinno być dodatnie i różne od jedynki):
niech\(\displaystyle{ f(x)=\log_a x}\),
Cały czas obracamy się w sferze domysłów "co autor miał na myśli"...

JK

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: pochodna z logarytmem

Post autor: Premislav » 25 paź 2017, o 00:19

Zapis \(\displaystyle{ \ln_a x}\) jest, jak wyżej wspomniano, bez sensu. Jeśli zaś autor wątku nie umie policzyć pochodnej funkcji liniowej (w stylu \(\displaystyle{ f(x)=x\cdot \ln a}\)), to niech, kurczę pieczone, wraca do szkoły średniej, zatem jedyna sensowna interpretacja to pytanie o pochodną \(\displaystyle{ \log_a x}\), tak przyjął we wskazówce a4karo (wskazówce, która mnie się wydała nienaturalna, ale pewnie mam mylne wyobrażenie o tym, co jest naturalne) i tak ja to odebrałem.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19203
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: pochodna z logarytmem

Post autor: a4karo » 25 paź 2017, o 04:51

No to się będę tłumaczył:
Po pierwsze primo : założyłem, że autorowi chodziło o pochodną funkcji logarytmicznej
Po drugie primo : założyłem (a po tylu latach pracy na uczelni technicznej jest to całkiem rozsądne założenie), że autor nie zauważa subtelnej różnicy między \(\displaystyle{ \log_a}\) i \(\displaystyle{ \ln_a}\).
Po trzecie primo: autor zna pojęcie funkcji wykładniczej.

Przy tych założeniach sposób, który podałem jest rozsądny, i chyba lepszy niż ten Premislava, bo nie wymaga znajomości pochodnej logarytmu naturalnego.

Niestety, pewnie nigdy nie dowiemy się, czy te założenia są słuszne, bo autor najwyraźniej stracił zainteresowanie tematem.

ODPOWIEDZ