Matematyka.pl

Posiadam przykład, w którym mam udowodnić indukcję dla naturalnych + :
\(\displaystyle{ 4+10+6+...+ (6n-2) = n(3n+1)}\)

Pomijając krok, gdzie n=1 mam:

Teza: \(\displaystyle{ 4+10+6+...+(6n-2)+(6n+2)+(6n+4)=3n ^{2} +4n+7}\)

L= \(\displaystyle{ (3n ^{2} + n) + (6n+4) - (3n-3)}\)
P= \(\displaystyle{ 3n ^{2} +4n+7}\)

L=P

Czy jest to poprawnie rozwiązane? Jeśli nie, jakie błędy popełniłem?

Pozdrawiam i dziękuję.

Nie jest dobrze.

Literówka (nieistotna) \(\displaystyle{ 4+10+16+...}\)

Ale ,,teza" nie wiadomo skąd (zarówno lewa jak i prawa strona).

Sprawdzenie

Zdanie \(\displaystyle{ T(1)}\):

\(\displaystyle{ 4 = 1(3\cdot 1 +1)}\)

jest zdaniem prawdziwym.

Krok indukcyjny :

\(\displaystyle{ T(k) \rightarrow T(k+1)}\)

\(\displaystyle{ 4 + 10 + ...+(6k - 2) + (6k + 4) = (k+1)[3(k+1)+1]= (k+1)(3k+4).}\)

\(\displaystyle{ k(3k +1)+ (6k + 4) = 3k^2 +7k +4 = (k+1)(3k+4).}\)

\(\displaystyle{ L = P.}\)

1) Zdanie \(\displaystyle{ T(1)}\) jest prawdziwe.

2) dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) z prawdziwości zdania \(\displaystyle{ T(k)}\) wynika prawdziwość zdania \(\displaystyle{ T(k+1)}\),

wobec tego spełnione są założenia o zasadzie indukcji zupełnej, dla każdego \(\displaystyle{ n\geq 1}\) naturalnego zdanie \(\displaystyle{ T(n)}\) jest prawdziwe, co należało wykazać.