Czy dla kazdego ciagu istnieje funkcja ciagla...

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
relic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 17 sty 2017, o 05:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 2 razy

Czy dla kazdego ciagu istnieje funkcja ciagla...

Post autor: relic » 24 paź 2017, o 11:09

Witam,

weźmy dowolny zbieżny ciag \(\displaystyle{ \left\{ a_{i} \right\} \subseteq R^{k}}\)
czy dla kazdego takiego ciagu istnieje funkcja ciagla \(\displaystyle{ g(x):R^{m} \rightarrow R^{k}}\) taka, ze \(\displaystyle{ \forall {i \in N} \ \ \exists \ \ x_0 \in R^{m} \ \ ze \ \ g(x_0)=a_i}\)?

Innymi slowy czy dla dowolnego przeliczalnego zbioru punktów istnieje funkcja ciagle w calej przestrzeni przyjmująca wartosci w tych punktach?

edit://

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Czy dla kazdego ciagu istnieje funkcja ciagla...

Post autor: leg14 » 24 paź 2017, o 11:48

talk

relic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 17 sty 2017, o 05:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Czy dla kazdego ciagu istnieje funkcja ciagla...

Post autor: relic » 24 paź 2017, o 11:55

a jakis zarys dowodu?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Czy dla kazdego ciagu istnieje funkcja ciagla...

Post autor: leg14 » 24 paź 2017, o 12:10

Rzutujesz \(\displaystyle{ \RR^{m}}\) na \(\displaystyle{ \RR}\). Na przedziale \(\displaystyle{ [n,n+1]}\) definiujesz
funkcję \(\displaystyle{ f_n(t) = \frac{t}{n} \cdot a_n + \frac{t-1}{n}a_{n+1}}\). Sklejasz te funkcje do jednej funkcji \(\displaystyle{ F:\RR \rightarrow \RR^{k}}\)

ODPOWIEDZ