Calka potrojna

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Sopratutto
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 wrz 2007, o 10:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: ;]

Calka potrojna

Post autor: Sopratutto » 23 wrz 2007, o 11:16

Witam! Mam problem z rozwiazaniem takiego zadania:
Obliczyc mase m walca ograniczonego powierzechnia \(\displaystyle{ x^{2}}\) + \(\displaystyle{ y^{2}}\) = \(\displaystyle{ R^{2}}\) oraz plaszyznami: \(\displaystyle{ z=0}\) i \(\displaystyle{ z=a}\), jezeli gestosc masy \(\displaystyle{ \rho(x,y,z)= 1+ x^{2}}\) + \(\displaystyle{ y^{2}}\).

Nie mam problemu z samym rozwiazaniem calki, mam problem natomiast z przejsciem na wspolrzedne. Zrobilam to tak, ze z zostawilam bez zmian i dla x i y przeszlam na wspolrzedne biegunowe. Wynik ten nie zgadza sie z odpowiedziami. Zakladam, ze zle wprowadzam wspolrzedne. Dziekuje za wskazowki.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Calka potrojna

Post autor: Amon-Ra » 23 wrz 2007, o 12:07

Masa to zawsze \(\displaystyle{ m=\iiint_{V}\rho(x,y,z)dxdydz}\). Przechodzimy na współrzędne cylindryczne, mamy \(\displaystyle{ x=r\cos\varphi}\), \(\displaystyle{ y=r\sin\varphi}\), \(\displaystyle{ z=z}\), moduł jakobianu wynosi \(\displaystyle{ r}\). Całkować będziemy po zbiorze \(\displaystyle{ \Delta =[0;2\pi]\times [0;R]\times[0;a]}\), czyli po prostopadłościanie.

\(\displaystyle{ m=\iiint_{\Delta}(1+r^2)rdrd\varphi dz=\int_{0}^{2\pi}d\varphi t_{0}^{a}dz t_{0}^{R}(r+r^3)dr}\)

Sopratutto
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 wrz 2007, o 10:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: ;]

Calka potrojna

Post autor: Sopratutto » 23 wrz 2007, o 12:13

Dziekuje za odpowiedz;-)

[ Dodano: 23 Września 2007, 12:45 ]
Witam! Mam kolejny problem z zadaniem:
Wyznaczyc moment bezwladnosci wzgledem osi Oz polkuli: \(\displaystyle{ x^{2}}\) + \(\displaystyle{ y^{2}}\)+ \(\displaystyle{ z^{2}}\) \(\displaystyle{ \leqslant 1}\) i \(\displaystyle{ z qslant 0}\), jesli gestosc w kazdym jej punkcie jest rowna odleglosci tego punktu od plaszczyzny Oxy: \(\displaystyle{ ( \rho(x,y,z)=z)}\).

Wprowadzam wspolrzedne sferyczne:
\(\displaystyle{ x=r}\) \(\displaystyle{ \cos\varphi}\) \(\displaystyle{ \sin\theta}\)
\(\displaystyle{ y=r}\) \(\displaystyle{ \sin\varphi}\) \(\displaystyle{ \sin\theta}\)
\(\displaystyle{ z=r}\) \(\displaystyle{ \cos\theta}\)
\(\displaystyle{ J=r^{2}}\) \(\displaystyle{ \sin\theta}\)
i dalej nic mi sie nie zgadza z odpowiedziami...
Jesli ktos bylby tak dobry, to prosze o wskazowke.

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Calka potrojna

Post autor: Amon-Ra » 23 wrz 2007, o 13:47

Moment bezwładności względem danej osi zawsze liczymy wg wzoru \(\displaystyle{ I=\iiint_{V}r^2\rho(x,y,z)dxdydz}\), gdzie r to odległość punktu o współrzędnych (x,y,z) od osi, względem której dokonujemy obliczeń. W naszym przypadku owa oś to Oz, zatem \(\displaystyle{ r^2=x^2+y^2}\):

\(\displaystyle{ I=\iiint_{V}(x^2+y^2)zdxdydz}\)

Przechodzimy na współrzędne sferyczne (całkowanie po prostopadłościanie) wg schematu, jaki zacytowałaś, otrzymując calkę następującą:

\(\displaystyle{ I=\int_{0}^{2\pi}d\varphi t_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta t_{0}^{1}r^5\sin^3 \theta \cos\theta dr}\)

Mam nadzieję, iż się nie pomyliłem, bo liczyłem dość szybko . Całkę trygonometryczną rozwiązujemy, podstawiając \(\displaystyle{ t=\sin\theta}\), wtedy \(\displaystyle{ dt=\cos\theta d\theta}\).

ODPOWIEDZ