Różniczkowalność normy w l_1

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Różniczkowalność normy w l_1

Post autor: Pakro » 23 paź 2017, o 15:35

Wykazać, że norma w przestrzeni \(\displaystyle{ l_1}\) nie jest rożniczkowalna w żadnym punkcie. Trochę nad tym siedziałem ale nie dałem rady tego wykazać.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Różniczkowalność normy w l_1

Post autor: janusz47 » 23 paź 2017, o 21:43

Zauważmy, że norma

\(\displaystyle{ \parallel \vec{e_{1}} +t\cdot \vec{e_{2}}\parallel = 1 +|t|}\) (1)

nie jest funkcją różniczkowalną w \(\displaystyle{ 0.}\)

Załóżmy, że istnieje pochodna normy \(\displaystyle{ l_{1}}\) w sensie Frecheta w \(\displaystyle{ \vec{e_{1}}}\) w kierunku wektora \(\displaystyle{ \vec{e_{2}}.}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0}\frac{\parallel \vec{e_{1}}+t\cdot \vec{e_{2}}\parallel - \parallel \vec{e_{1}}\parallel - T( t\cdot \vec{e_{2}})}{\parallel t\cdot \vec{e_{2}}\parallel} = 0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0}\frac{\parallel \vec{e_{1}}+t\cdot \vec{e_{2}}\parallel - \parallel \vec{e_{1}}\parallel - t\cdot T(\vec{e_{2}})}{\parallel t\cdot \vec{e_{2}}\parallel} = 0}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ T}\) jest operatorem liniowym.

\(\displaystyle{ \vec{h} = t\cdot \vec{e_{2}}, \ \ t \in R .}\)

Na podstawie równości (1)

\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{1 +|t| -1 -t\cdot T(\vec{e_{2}})}{|t|} =0}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0} \frac{-t\cdot T(\vec{e_{2}})}{|t|} = -1}\) (2)

otrzymaliśmy sprzeczność, bo równość (2) nie może zachodzić, dla żadnej wartości \(\displaystyle{ T(\vec{e_{2}}).}\)

c.b.d.o.

Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Re: Różniczkowalność normy w l_1

Post autor: Pakro » 23 paź 2017, o 23:40

Jak się to ma do dowolnego punktu przestrzeni \(\displaystyle{ l_1}\)?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Różniczkowalność normy w l_1

Post autor: janusz47 » 24 paź 2017, o 10:22

Każdy punkt (wektor) przestrzeni \(\displaystyle{ l_{1}}\) możemy wyrazić jako kombinację liniową \(\displaystyle{ \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}},}\) której norma jak wspomniałem nie jest różniczkowalna.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19183
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3243 razy

Re: Różniczkowalność normy w l_1

Post autor: a4karo » 24 paź 2017, o 17:05

janusz47 pisze:Każdy punkt (wektor) przestrzeni \(\displaystyle{ l_{1}}\) możemy wyrazić jako kombinację liniową \(\displaystyle{ \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}},}\) której norma jak wspomniałem nie jest różniczkowalna.
Czyżby stąd nie wynikało, że wymiar tej przestrzeni to \(\displaystyle{ 2}\) ?

Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Re: Różniczkowalność normy w l_1

Post autor: Pakro » 24 paź 2017, o 22:46

Wynika. Nawet mógłbym to przenieś na dowolne \(\displaystyle{ i,j \in \mathbb{N}}\) ale samo odwzorowanie, które punktowy przyporządkowuje pochodną nie jest liniowe, więc nie wiem co mi to daje.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Różniczkowalność normy w l_1

Post autor: janusz47 » 24 paź 2017, o 23:20

A jakie?

Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Re: Różniczkowalność normy w l_1

Post autor: Pakro » 24 paź 2017, o 23:26

Według Ciebie zachodzi wzór \(\displaystyle{ f'(a+b)=f'(a)+f'(b)}\)?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Różniczkowalność normy w l_1

Post autor: janusz47 » 24 paź 2017, o 23:32

Nie zachodz,i bo pochodna normy nie jest funkcją różniczkowalną.

Ale operator różniczkowania na przykład w sensie Frecheta jest operatorem linowym.

Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Re: Różniczkowalność normy w l_1

Post autor: Pakro » 24 paź 2017, o 23:37

Tak ale w takim sensie, że \(\displaystyle{ f'(a)(h+k)=f'(a)(h)+f'(a)(k)}\).

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Różniczkowalność normy w l_1

Post autor: janusz47 » 25 paź 2017, o 09:58

Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowa w punkcie \(\displaystyle{ a,}\) to równanie Pana jest prawdziwe

ODPOWIEDZ