podzielność i liczby pierwsze

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
klimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 13 paź 2017, o 08:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tu
Podziękował: 30 razy

podzielność i liczby pierwsze

Post autor: klimat » 23 paź 2017, o 10:01

Czy prawdziwe jest takie twierdzenie:
Dla dostatecznie duzej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\), istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ q>p}\) taka że \(\displaystyle{ q | (2^{p-1}-1).}\)
Ostatnio zmieniony 27 paź 2017, o 22:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 80 razy

podzielność i liczby pierwsze

Post autor: Rafsaf » 23 paź 2017, o 15:31

Nie.

Z Małego tw Fermata wynika że \(\displaystyle{ p | (2^{p-1}-1)}\) o ile \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ p}\) są względnie pierwsze, co zachodzi zawsze z wyjątkiem sytuacji \(\displaystyle{ p=2}\), którą i tak odrzucamy

A skoro tak to załóżmy że istnieje taka liczba pierwsza \(\displaystyle{ q>p}\) że \(\displaystyle{ q | (2^{p-1}-1)}\) co przy założeniu \(\displaystyle{ p | (2^{p-1}-1)}\) prowadzi do sprzeczności, bo \(\displaystyle{ q}\) musi być wielokrotnością \(\displaystyle{ p}\), więc nie jest liczbą pierwszą.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19206
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

podzielność i liczby pierwsze

Post autor: a4karo » 23 paź 2017, o 16:42

Słaby to argument, bo \(\displaystyle{ 31|2^{10}-1}\)
Ostatnio zmieniony 24 paź 2017, o 00:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 8 razy

podzielność i liczby pierwsze

Post autor: Brombal » 27 paź 2017, o 22:17

\(\displaystyle{ 43| 2^{29-1} -1}\)
\(\displaystyle{ 73| 2^{19-1} -1}\)
\(\displaystyle{ 73| 2^{37-1} -1}\)
\(\displaystyle{ 89| 2^{32-1} -1}\)
\(\displaystyle{ 109| 2^{37-1} -1}\)
\(\displaystyle{ 127| 2^{37-1} -1}\)
\(\displaystyle{ 151| 2^{31-1} -1}\)
Tak na szybkiego

ODPOWIEDZ