Ciekawy szereg

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Ciekawy szereg

Post autor: Rozbitek » 23 paź 2017, o 01:10

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^n}{n! e^n}}\)

Kryterium D'Alambert - Nie rozstrzyga.
Kryterium Cauchy'ego - Też.

Lekka zmiana w kryterium porównawczym psuje...

Tak zaznaczam tylko, nie bd Was zasypywał obliczeniami, które de facto nic nie dają.

Macie jakąś sugestie?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Ciekawy szereg

Post autor: Premislav » 23 paź 2017, o 01:28

Można udowodnić indukcyjnie na przykład taką nierówność:
\(\displaystyle{ n!\le ne\left( \frac n e\right)^n}\), jak się zdaje w drugim kroku indukcyjnym będziesz potrzebował tego, że \(\displaystyle{ \left( 1+\frac 1 n\right)^{n+1}}\) jest ciągiem malejącym, a to idzie z nierówności Bernoulliego.
Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{n^n}{n! e^n} \ge \frac{1}{ne}}\)
i kryterium porównawcze załatwia sprawę.
Inna opcja to wzór Stirlinga.

ODPOWIEDZ