Ciąg rekurencyjny - granica

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Ciąg rekurencyjny - granica

Post autor: Kalkulatorek » 22 paź 2017, o 23:17

Witam.
Mam policzyć granicę takiego ciągu:
\(\displaystyle{ a_1 = \sqrt{6}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1} = \sqrt{6+a_n}}\) .
Pomyślałem, żeby zrobić to z twierdzenia o ciągu monotonicznym ograniczonym - a zatem w pierwszej kolejności chciałbym pokazać, że ciąg jest monotoniczny.
Aby tak było, musi spełnić następujący warunek:
\(\displaystyle{ \sqrt{6+a_n} > a_n}\)
Stąd dostałem, że \(\displaystyle{ a_n \in (0,3)}\)
A więc, aby ciąg był monotoniczny, musi być ograniczony z dołu przez \(\displaystyle{ 0}\), a z góry przez \(\displaystyle{ 3}\).
W tym momencie jednak utknąłem, nie wiem, jak to pokazać. Sam fakt, że \(\displaystyle{ \sqrt{6} < 3}\) Wcale nie musi przecież oznaczać, że ciąg nigdy trójki nie przekroczy.
Ostatnio zmieniony 22 paź 2017, o 23:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Ciąg rekurencyjny - granica

Post autor: Premislav » 22 paź 2017, o 23:21

Pokaż indukcyjnie, że ten ciąg jest rosnący i ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 3}\).
W razie problemów napisz, to pomożemy, ale pokaż do czego doszedłeś.

Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Re: Ciąg rekurencyjny - granica

Post autor: Kalkulatorek » 22 paź 2017, o 23:38

Widać, że wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Zakładam, że są mniejsze niż 3.
1. \(\displaystyle{ a_1 \in (0,3)}\)
2. Zakładam, że \(\displaystyle{ a_k \in (0,3)}\)
3. \(\displaystyle{ a_{k+1} = \sqrt{6+a_k} < \sqrt{6+3} = 3}\)
Zatem z indukcji wynika, że ciąg jest ograniczony. A więc jest monotoniczny (warunek z poprzedniego postu).

Czy do tej pory jest dobrze?
Jak teraz można kontynuuować i pokazać, że 3 faktycznie jest granicą?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Ciąg rekurencyjny - granica

Post autor: Premislav » 22 paź 2017, o 23:57

Tak, jest w porządku (poza szczegółami technicznymi, powinieneś napisać coś w rodzaju "pokażemy, że jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ a_k \in (0,3)}\), to także \(\displaystyle{ a_{k+1} \in (0,3)}\)" - nie upieram się za bardzo przy tym akurat sformułowaniu, chodzi o to, że "\(\displaystyle{ a_k \in (0,3)}\)" nie mówi, czy chodzi Ci o pewne konkretne \(\displaystyle{ k}\), czy o wszystkie naraz itd.).
Skoro pokazałeś, że ciąg jest ograniczony z góry i rosnący, to ma on granicę właściwą, oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ g}\). Wiesz zatem, że
\(\displaystyle{ g= \lim_{n \to \infty }a_n= \lim_{n \to \infty }a_{n+1}= \lim_{n \to \infty } \sqrt{6+a_n}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{x}\)} jest funkcją ciągłą, zatem stąd dostajesz
\(\displaystyle{ g=\sqrt{6+g}}\) - podnieś do kwadratu, uwzględnij to, że \(\displaystyle{ g}\) musi być dodatnie i wyjdzie.

ODPOWIEDZ