Układ równań z czterema niewiadomymi

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Ogorek00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 2 sty 2017, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 42 razy

Układ równań z czterema niewiadomymi

Post autor: Ogorek00 » 22 paź 2017, o 22:39

Dodatnie liczby \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) spełniają poniższy układ równań. Udowodnij, że \(\displaystyle{ a=b=c=d}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 d^{3} \\ b^{4} + c^{4} + d^{4} = 3 a^{4}\\ c^{5} + d^{5} + a^{5} = 3 b^{5}\end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 22 paź 2017, o 23:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Układ równań z czterema niewiadomymi

Post autor: Zahion » 22 paź 2017, o 23:06

Załóż, że \(\displaystyle{ a \le b \le c}\), zobacz następnie co z tego wyjdzie.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15212
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Układ równań z czterema niewiadomymi

Post autor: Premislav » 22 paź 2017, o 23:08

Mamy zatem:
\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3+d^3=4d^3\\a^4+b^4+c^4+d^4=4a^4\\a^5+b^5+c^5+d^5=4b^5}\)

Ze średnich potęgowych mamy:
\(\displaystyle{ b= \sqrt[5]{ \frac{a^5+b^5+c^5+d^5}{4} } \ge a= \sqrt[4]{ \frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4} } \ge d= \sqrt[3]{ \frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{4} }}\)
Z drugiej strony, wobec dodatniości \(\displaystyle{ a,b,c,d}\), z pierwszej równości (1) wynika, że
wśród liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) są nie większa i nie mniejsza niż \(\displaystyle{ d}\), analogicznie z drugiej równości (2) wynika, że wśród liczb \(\displaystyle{ b,c,d}\) są liczba nie większa i liczba nie mniejsza niż \(\displaystyle{ a}\), natomiast z trzeciej równości (3) otrzymujemy, że wśród liczb \(\displaystyle{ a,c,d}\) mamy liczbę nie większą niż \(\displaystyle{ b}\) i liczbę nie mniejszą od \(\displaystyle{ b}\) (to po prostu widać, ale można łatwo wykazać przez sprzeczność).
Kremówkuj z tym (z nierówności, które wynikają ze średnich potęgowych i z przypadku (1) wynika, że bądź to \(\displaystyle{ a=d}\), bądź \(\displaystyle{ d\ge c}\) etc.). Pozostawiam do dokończenia.

ODPOWIEDZ