Suma n pierwiastków

[Ogorek00]

Znajdź dodatnie rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ \sqrt{ x_{1} - 1^{2} } + 2 \sqrt{ x_{2} - 2^{2} } + ... + n \sqrt{ x_{n} - n^{2} } = \frac{ x_{1} + x _{2} + ... + x_{n} }{n}}\)

[Premislav]

Dobrze to przepisałaś? Wydaje mi się trudne.
Pierwszym odruchem byłoby skorzystanie z jakichś nierówności (z uwagi na to, że mamy równanie z potencjalnie wieloma niewiadomymi i to w rzeczywistych dodatnich, a nie np. całkowitych), ale łatwo widać, że nic z tego nie wyjdzie, gdyż jeśli
\(\displaystyle{ x_i=2\cdot i^2, \ i=1\ldots n}\), to lewa strona jest równa
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\), zaś prawa wynosi
\(\displaystyle{ \frac{2}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n} i^2= \frac{(n+1)(2n+1)}{3}}\),
czyli dla takich liczb \(\displaystyle{ x_i}\) mamy \(\displaystyle{ L>P}\) dla \(\displaystyle{ n>2}\),
a z drugiej strony starczy wziąć \(\displaystyle{ x_i=i^2}\), by stwierdzić, że w tę stronę też nie może zachodzić żadna nierówność (przynajmniej nie w ogólności).

[bosa_Nike]

No ale dla \(\displaystyle{ n=2}\) coś się chyba z tym da zrobić, czy nie?

[Premislav]

Oczywiście, ale chyba chodzi nam o rozwiązanie dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) (tj. o jakąś klasyfikację rozwiązań i wykazanie, że innych nie ma). Dla \(\displaystyle{ n=2}\) wystarczy oszacować z
\(\displaystyle{ i\sqrt{x_i-i^2} \le \frac{i^2+(x_i-i^2)}{2}}\) dla \(\displaystyle{ i=1, i=2}\) (AM-GM) i dodać stronami, co prowadzi do \(\displaystyle{ x_1=2, x_2=8}\), ale jak pisałem, to jest tylko jedna wartość \(\displaystyle{ n}\) i na więcej się w żaden sposób nie uogólnia (tj. uogólnia, ale z inną stałą multyplikatywną przy \(\displaystyle{ x_1+\ldots +x_n}\)).
Miałem wcześniej taki pomysł (a właściwie, to nie ja miałem, tylko timon92 kiedyś tam w innym zadaniu, a ja zapamiętałem), żeby oszacować
\(\displaystyle{ i\sqrt{x_i-i^2} \le \frac{ci^2+\frac 1 c(x_i-i^2)}{2}}\), dodać stronami dla \(\displaystyle{ i=1\ldots n}\) i potraktować otrzymane wyrażenie jako funkcję zmiennej \(\displaystyle{ c>0}\), po czym spróbować ją zminimalizować, ale oczywiście (z powodów, które wyżej wspomniałem) nie może to przynieść powodzenia.
Stała \(\displaystyle{ \frac 1 2}\) przy \(\displaystyle{ x_1+\ldots +x_n}\) za to "działa" (w tym sensie, że można oszacować), ale wtedy zadanie się robi dość trywialne. Natomiast w oryginalnym sformułowaniu, dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN^+, n>1}\) istnieje co najmniej jedno rozwiązanie, ale jak te rozwiązania znaleźć poza przypadkiem \(\displaystyle{ n=2}\) - nie wiem.