Suma trzech pierwiastków

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Ogorek00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 2 sty 2017, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 42 razy

Suma trzech pierwiastków

Post autor: Ogorek00 » 22 paź 2017, o 22:34

Znajdź dodatnie x,y,z spełniające równanie:

\(\displaystyle{ x \sqrt{1- y^{2} } + y \sqrt{2- z^{2} } + z \sqrt{3- x^{2} } = 3}\)

Z góry dziękuję za pomoc

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Suma trzech pierwiastków

Post autor: Premislav » 22 paź 2017, o 22:49

Z nierówności między średnimi:
\(\displaystyle{ \frac{x^2+(1-y^2)}{2} \ge x\sqrt{1-y^2}\\ \frac{y^2+(2-z^2)}{2} \ge y\sqrt{2-z^2}\\ \frac{z^2+(3-x^2)}{2} \ge z\sqrt{3-x^2}}\)
i dodając te trzy nierówności stronami, mamy
\(\displaystyle{ 3\ge x \sqrt{1- y^{2} } + y \sqrt{2- z^{2} } + z \sqrt{3- x^{2} } = 3}\),
więc musi być przypadek równości w nierówności między średnimi, tj.
\(\displaystyle{ x^2=1-y^2 \wedge y^2=2-z^2\wedge z^2=3-x^2}\)
A z tym już sobie powinnaś poradzić.-- 22 paź 2017, o 22:51 --Aha, nie zapomnij tylko o dziedzinie, pod pierwiastkami kwadratowymi oczywiście muszą być liczby nieujemne.

ODPOWIEDZ