Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Krys007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 22 paź 2017, o 19:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji

Post autor: Krys007 » 22 paź 2017, o 20:05

Witam,
muszę zbadać monotoniczność funkcji (bez użycia granic czy też pochodnych) czyli na podstawie definicji.
Zupełnie nie wiem jak się do tego zabrać. Gdyby nie obecność przedziałów zbadałbym znak wyrażenia \(\displaystyle{ f \left( x_{1} \right) -f \left( x_{2} \right)}\). A tak nie wiem co robić

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{x}{x^{2}+1}}\)
dla
a) \(\displaystyle{ x \in \left( -1,1 \right)}\)
b) \(\displaystyle{ x \le -1}\)



Dzięki za pomoc czy też wskazówkę
Ostatnio zmieniony 22 paź 2017, o 20:59 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 80 razy

Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji

Post autor: Rafsaf » 22 paź 2017, o 20:20

Krys007 pisze:Witam,
muszę zbadać monotoniczność funkcji (bez użycia granic czy też pochodnych) czyli na podstawie definicji.
Zupełnie nie wiem jak się do tego zabrać. Gdyby nie obecność przedziałów zbadałbym znak wyrażenia \(\displaystyle{ f(x_{1})-f(x_{2})}\)
Zrób dokładnie to samo tyle że z założeniem np w a) \(\displaystyle{ x_1>x_2 \wedge x_1,x_2 \in (-1,1)}\)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji

Post autor: szw1710 » 22 paź 2017, o 20:23

Właśnie to musisz zrobić. Zakładając, że \(\displaystyle{ x<y}\), trzeba będzie zbadać znak wyrażenia \(\displaystyle{ xy-1}\). To Ci wyjdzie z rachunków. I znów pojawia się hiperbola (zobacz na fanpage mojego bloga).

Krys007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 22 paź 2017, o 19:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji

Post autor: Krys007 » 22 paź 2017, o 20:46

zakładam, że \(\displaystyle{ x_{1}}\) < \(\displaystyle{ x_{2}}\)

po wyliczeniu f(\(\displaystyle{ x_{1}}\))-f(\(\displaystyle{ x_{2}}\)) wychodzi mi takie coś

\(\displaystyle{ \frac{(x_{2}-x_{1})(1- x_{1}x _{2})}{(x^{2}_{1}+1)(x^{2}_{2}+1)}}\)

Z czego odczytuję że jest to liczba mniejsza od zera, zatem f(\(\displaystyle{ x_{2}}\))-f(\(\displaystyle{ x_{1}}\)) <0

a f(\(\displaystyle{ x_{2}}\))<f(\(\displaystyle{ x_{1}}\)) ale nic mi to nie mówi..

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23223
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3180 razy

Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji

Post autor: piasek101 » 22 paź 2017, o 21:23

Raz piszesz \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)}\), a raz \(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1)}\) - zdecyduj.

Krys007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 22 paź 2017, o 19:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji

Post autor: Krys007 » 22 paź 2017, o 21:51

Pogubiłem się.

\(\displaystyle{ \frac{(x_{2}-x_{1})(1- x_{1}x _{2})}{(x^{2}_{1}+1)(x^{2}_{2}+1)}}\)

ta liczba jest mniejsza od zera. To wiem, ale nie wiem co z tym fantem począć

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19182
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3243 razy

Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji

Post autor: a4karo » 22 paź 2017, o 21:54

A czemu ta liczba jest mniejsza od zera?

Krys007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 22 paź 2017, o 19:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji

Post autor: Krys007 » 22 paź 2017, o 22:10

Bo znaki w nawiasach to \(\displaystyle{ \frac{(+)(-)}{(+)}}\) co daje liczbę ujemną

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19182
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3243 razy

Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji

Post autor: a4karo » 22 paź 2017, o 22:29

A czemu sądzisz, że \(\displaystyle{ 1-x_1x_2<0}\)?

Krys007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 22 paź 2017, o 19:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji

Post autor: Krys007 » 22 paź 2017, o 22:37

O kurczę, faktycznie... one są tylko w przedziale (-1,1)

W takim razie mam tą liczbę ale...ale w takim razie jak mam zbadać znak wyrażenia \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)}\) ?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19182
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3243 razy

Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji

Post autor: a4karo » 22 paź 2017, o 22:46

A jaki jest związek między \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)}\) i
\(\displaystyle{ \frac{(x_{2}-x_{1})(1- x_{1}x _{2})}{(x^{2}_{1}+1)(x^{2}_{2}+1)}}\) ?

Krys007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 22 paź 2017, o 19:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji

Post autor: Krys007 » 22 paź 2017, o 22:57

Podstawiłem \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) do wzoru funkcji i próbowałem coś z tego wyliczyć.
Ostatnio zmieniony 22 paź 2017, o 23:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19182
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3243 razy

Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji

Post autor: a4karo » 22 paź 2017, o 23:02

Krys007 pisze:Podstawiłem x1 i x2 do wzoru funkcji i próbowłem coś z tego wyliczyć

Napisałeś \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)}\) i zastosowałeś wzór opisujący funkcję. I co dostałeś?

Krys007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 22 paź 2017, o 19:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji

Post autor: Krys007 » 22 paź 2017, o 23:10

Badanie monotoniczności funkcji to dla mnie nowość, opierałem się na poradnikach video jak to zrobić. Tam też podstawiają do wzoru i wyliczają aż otrzymają pożądaną postać wzoru:
\(\displaystyle{ x_1-x_2<0}\)


Ja nie potrafię tego zrobić analogicznie
Ostatnio zmieniony 22 paź 2017, o 23:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Badanie monotoniczności funkcji na podstawie definicji

Post autor: szw1710 » 22 paź 2017, o 23:17

I tyle są warte te poradniki. Uczą schematyzmu, a nie zdroworozsądkowego myślenia. Inna rzecz, że studentom wydaje się, że oglądając te filmy staną się super-mistrzami matematyki. Nic bardziej błędnego. Nic nie zastąpi żywego kontaktu z nauczycielem. Odradzam studentom wszelkie opisane przez Ciebie przedsięwzięcia. Tym bardziej, że są one często piratowane. Ale do kursów video trzeba mieć niezmierny talent, a i podejście dydaktyczne jest inne niż w tradycyjnych zajęciach.

Dobrze, że zwracasz się do nas. Doszliśmy do tego, że monotoniczność badanej funkcji zależy od znaku iloczynu \(\displaystyle{ (x_2-x_1)(x_1x_2-1)}\). Jeśli założymy, że \(\displaystyle{ x_1<x_2}\), to zależy tylko od znaku wyrażenia \(\displaystyle{ x_1x_2-1}\). Narysuj hiperbolę o tym równaniu i wyciągnij wnioski zależnie od przypadków, jakie masz do rozważenia.

ODPOWIEDZ