Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Jakubb21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 1 cze 2017, o 13:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 17 razy

Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.

Post autor: Jakubb21 » 22 paź 2017, o 12:22

Rozwiązać takie oto równanie. Proszę o wyszczególnienie poszczególnych etapów.
\(\displaystyle{ Q(x)= x^{3}-9x^{2}+28x-20}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.

Post autor: Premislav » 22 paź 2017, o 12:30

Najpierw użyj twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych; sprawdzając przypadki, dostrzeżesz, że \(\displaystyle{ Q(1)=0}\). A dalej podziel ten wielomian przez \(\displaystyle{ x-1}\) (np. pisemnie) i dostaniesz do rozłożenia trójmian kwadratowy (delta itd.).

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6755
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.

Post autor: mariuszm » 30 gru 2017, o 12:10

Premislav, twierdzisz że nie lubisz zgadywania a tutaj je proponujesz

Do tego równania można podejść na dwa sposoby które uogólniają się
na równanie czwartego stopnia

\(\displaystyle{ x^{3}-9x^{2}+28x-20=0}\)

Zacznijmy od wyrugowania wyrazu z \(\displaystyle{ x^2}\)

Możemy użyć albo podstawienia albo schematu Hornera

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} &1&-9&28&-20\\ \hline 3&1&-6&10&10 \\ \hline 3&1&-3&1& \\ \hline 3&1&0&&\\ \hline 3&1&&&\\ \hline \end{tabular}}\)

\(\displaystyle{ \left( x-3\right)^3+\left( x-3\right)+10=0}\)

1.

\(\displaystyle{ y=x-3\\ y^3+y+10=0\\ y^3=-y-10\\ y^3+3y^2z+3yz^2+z^3=3y^2z+3yz^2+z^3-y-10\\ \left( y+z\right)^3=y\left( 3yz+3z^2-1\right)+z^3-10\\ 3yz+3z^2-1=0\\ 3z\left( y+z\right)-1=0\\ y+z=\frac{1}{3z}\\ \frac{1}{27z^3} =z^3-10\\ z^3-10-\frac{1}{27z^3}=0\\ z^6-10z^3-\frac{1}{27}=0\\ \left( z^3-5\right)^2-\frac{676 \cdot 3}{81}=0\\ \left( z^3-\frac{45-26 \sqrt{3} }{9}\right)\left( z^3-\frac{45+26 \sqrt{3} }{9}\right)=0\\ \left( z^3-\frac{135-78 \sqrt{3} }{27}\right)\left( z^3-\frac{135+78 \sqrt{3} }{27}\right)=0\\ z=\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}} \\ y+z=\frac{1}{3z}\\ y=-z+\frac{1}{3z}\\ y=-\frac{1}{3}\sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}}}\\ x=-\frac{1}{3}\sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}}}+3\\ x=-\frac{1}{3} \cdot \left( 3+2 \sqrt{3} \right) -\frac{1}{3+2 \sqrt{3} }+3\\ x=-\frac{1}{3} \cdot \left( 3+2 \sqrt{3} \right)-\frac{1}{3}\left( 3-2 \sqrt{3} \right)+3\\ x=-\frac{1}{3}\left( \left(3-2 \sqrt{3} \right)+\left( 3+2 \sqrt{3} \right) \right)+3\\ x=-2+3\\ x=1\\}\)

2.

\(\displaystyle{ y=x-3\\ y^3+y+10=0\\ y=u+v\\ \left( u+v\right)^3+\left( u+v\right)+10=0\\ u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+\left( u+v\right)+10=0\\ u^3+v^3+10+3u^2v+3uv^2+\left( u+v\right)=0\\ u^3+v^3+10+3uv\left(u+v \right) +\left( u+v\right)=0\\ u^3+v^3+10+\left( u+v\right)\left( 3uv+1\right)=0\\ \begin{cases} u^3+v^3+10=0 \\ 3uv+1=0 \end{cases} \\ \begin{cases} u^3+v^3=-10 \\ uv=-\frac{1}{3} \end{cases} \\ \begin{cases} u^3+v^3=-10 \\ u^3v^3=-\frac{1}{27} \end{cases} \\ t^2+10t-\frac{1}{27}=0\\ \left( t+5\right)^2-\frac{676 \cdot 3}{81}=0\\ \left( t+\frac{45+26 \sqrt{3} }{9}\right)\left( t+\frac{45-26 \sqrt{3} }{9}\right)=0\\ \left( t+\frac{135+78 \sqrt{3} }{27}\right)\left( t+\frac{135-78 \sqrt{3} }{27}\right)=0\\ y=\frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{-135-78 \sqrt{3}}+ \sqrt[3]{-135+78 \sqrt{3}} \right)\\ x=\frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{-135-78 \sqrt{3}}+ \sqrt[3]{-135+78 \sqrt{3}} +9 \right)\\}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19203
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.

Post autor: a4karo » 30 gru 2017, o 13:10

mariuszm, to chwalebne- znać takie metody. Ale czy naprawdę uważasz, że twoja metoda jest lepsza zwłaszcza na kolokwium?

Czy naprawdę tak byś rozkładał na ułamek proste \(\displaystyle{ (x^2-2x)/Q(x)}\)?

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4092
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 410 razy

Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.

Post autor: arek1357 » 30 gru 2017, o 14:22

To tak jakbym strzelał do wróbla z dum dum...

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.

Post autor: PoweredDragon » 30 gru 2017, o 14:40

To tak jakbyś próbował atomówką bakterie załatwić. Nie przebierajmy w słowach. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych nie jest, bynajmniej, zgadywaniem. Jest to najprostsza metoda na rozwiązanie prostszych równań. Dopiero kiedy i ona nie pomoże, można posiłkować się innymi metodami (typu wzory Cardano).

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6755
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.

Post autor: mariuszm » 30 gru 2017, o 16:18

a4karo, dla mnie pomysł zaproponowany przez Przemysława jest zgadywaniem
działa tylko dla pierwiastków wymiernych , nie zawsze jest szybsze
(Tutaj względnie łatwo zgadnąć ale gdyby tych dzielników było więcej ?)

Całkowitych pierwiastków można by szukać binarnie dałoby to
logarytmiczną złożoność ale co z wymiernymi
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych nie jest, bynajmniej, zgadywaniem.
Jak to nie jest zgadywaniem skoro nie wiesz jakie dzielniki pasują
i nawet nie masz pewności że takie dzielniki znajdziesz

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3147
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1070 razy

Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.

Post autor: Janusz Tracz » 30 gru 2017, o 16:26

pomysł zaproponowany przez Przemysława jest zgadywaniem
działa tylko dla pierwiastków wymiernych
Skoro wiadomo że działa dla pierwiastków wymiernych (w dodatku jest skończenie wiele kandydatów) to jak można to nazwać zgadywaniem...
To jest po prostu twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu w czystej użytkowej postaci.
nie zawsze jest szybsze...ale gdyby tych dzielników było więcej ?
Ale tu jest. Gdyby babcia miała wąsy to wzory Cardana by się przydały.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19203
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.

Post autor: a4karo » 30 gru 2017, o 16:43

mariuszm pisze:a4karo, dla mnie pomysł zaproponowany przez Przemysława jest zgadywaniem
działa tylko dla pierwiastków wymiernych , nie zawsze jest szybsze
(Tutaj względnie łatwo zgadnąć ale gdyby tych dzielników było więcej ?)

Całkowitych pierwiastków można by szukać binarnie dałoby to
logarytmiczną złożoność ale co z wymiernymi
Można dyskutować o tym, co kto woli. Większość moich studentów po zobaczeniu Twoich rachunków poszłaby na teologię .

Inna sprawa, że sposób w jaki przedstawiasz swoje rozwiązania jest czytelny dla ludzi, którzy te metody znają i potrafią zastosować gdy trzeba. Natomiast dla laika ściana znaczków które wypisujesz bez żadnych komentarzy nie jest zjadliwa.

Jeżeli mamy do czynienia z zadaniami szkolnymi, uczelnianymi czy większością jakichkolwiek innych, to użycie metody podanej przez Premislava jest dużo lepsze z następujących względów:
a. działa dla wielomianów dowolnego stopnia
b. nie daje pierwiastków całkowitych w koszmarnie niezjadliwej postaci
c. nie jest zgadywaniem lecz optymalizacją: najpierw próbujemy metod prostych, a potem, jeżeli trzeba, wyciagamy armaty
d. jest raczej "błędoodporne" (choć dziś część studentów ma problem z dodawaniem licz całkowitych).

A wymiernych pierwiastkó szuka sie tak samo jak całkowitych.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6755
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.

Post autor: mariuszm » 30 gru 2017, o 17:59

a4karo tutaj miałem na myśli że nie zawsze uda się od razu zgadnąć pierwiastek
i że do znajdowania całkowitych można użyć wyszukiwania binarnego
co daje logarytmiczną złożoność
(krańce przedziałów należy dobierać tak aby aby iloczyn wartości funkcji w tych punktach był ujemny)
Gdyby to zastosować do wymiernych to można by się nieco pogubić

Z ciekawości przeglądałeś kiedyś tematy ze wstępu do programowania oraz
algorytmów i struktur danych ?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19203
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.

Post autor: a4karo » 30 gru 2017, o 18:02

Ale przecież nikt tu nie mówi o numerycznym rozwiązywaniu równań ani o wyszukiwaniu binarnym. Po prostu szukamy pierwiastka wśród dzielników wyrazy wolnego. I to właśnie wszyscy robią.

ODPOWIEDZ