Czy dowód jest poprawny?

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
tangerine11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mielec
Podziękował: 14 razy

Czy dowód jest poprawny?

Post autor: tangerine11 » 22 paź 2017, o 01:40

Zadanie:
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ rzG=n}\), to dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ a^{n}=e}\).

\(\displaystyle{ Z:\ rzG=n \\ T:\ \bigwedge_{ a\in G} a^{n}=e}\)

Dla dowodu nie wprost przyjmuję, że istnieje takie \(\displaystyle{ a}\), że: \(\displaystyle{ a^{n} \neq e}\)
I mam tak:
\(\displaystyle{ rz a = m, m<n}\)

\(\displaystyle{ a^{n} = a^{m} \cdot a^{k} , m+k=n \Rightarrow m>0 \\ a \cdot a^{k}=a^{n}}\)
\(\displaystyle{ k=n}\) - sprzeczność, bo \(\displaystyle{ m>0}\).
Czyli \(\displaystyle{ a^{n}=e}\)


Szczerze? Nie do końca wiem czy to wszystko trzyma się kupy, czy to faktycznie jest dowód czy tylko jakieś pojedyncze skrawki informacji na siłę zbite w coś co usilnie ma dowód przypominać chociaż nim nie jest
Ostatnio zmieniony 22 paź 2017, o 09:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19224
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Czy dowód jest poprawny?

Post autor: a4karo » 22 paź 2017, o 07:46

tangerine11 pisze:Zadanie:
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ rzG=n}\), to dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ a^{n}=e}\).

\(\displaystyle{ Z:\ rzG=n \\ T:\ \bigwedge_{ a\in G} a^{n}=e}\)

Dla dowodu nie wprost przyjmuję, że istnieje takie \(\displaystyle{ a}\), że: \(\displaystyle{ a^{n} \neq e}\)
I mam tak:
\(\displaystyle{ rz a = m, m<n}\)

\(\displaystyle{ a^{n} = a^{m} \cdot a^{k} , m+k=n \Rightarrow m>0 \\ a \cdot a^{k}=a^{n}}\)
\(\displaystyle{ k=n}\) - sprzeczność, bo \(\displaystyle{ m>0}\).
Czyli \(\displaystyle{ a^{n}=e}\)

Szczerze? Nie do końca wiem czy to wszystko trzyma się kupy, czy to faktycznie jest dowód czy tylko jakieś pojedyncze skrawki informacji na siłę zbite w coś co usilnie ma dowód przypominać chociaż nim nie jest
Szczerze? Napisales ciąg znaczków, z którego nic nie wynika.

Dowód to rozumowanie, które prowadzimy i zapisujemy w języku polskim, pomagając sobie tam gdzie trzeba symbolami matematycznym.

Nie pisz znaczków, tylko zastanów się co chcesz powiedzieć.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4092
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 410 razy

Re: Czy dowód jest poprawny?

Post autor: arek1357 » 22 paź 2017, o 10:31

Zadanie:
Udowodnić, że jeśli\(\displaystyle{ rzG=n}\), to dla każdego\(\displaystyle{ a \in G}\) zachodzi równość\(\displaystyle{ a^{n}=e}\).
A ja się pytam skąd to zadanie wziąłeś jak sam wymyśliłeś to ok a jak ktoś ci podsunął to uwierz że cię posadził na minie...

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19224
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Czy dowód jest poprawny?

Post autor: a4karo » 22 paź 2017, o 11:33

arek1357 pisze:
Zadanie:
Udowodnić, że jeśli\(\displaystyle{ rzG=n}\), to dla każdego\(\displaystyle{ a \in G}\) zachodzi równość\(\displaystyle{ a^{n}=e}\).
A ja się pytam skąd to zadanie wziąłeś jak sam wymyśliłeś to ok a jak ktoś ci podsunął to uwierz że cię posadził na minie...

Z powodu że???

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4092
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 410 razy

Re: Czy dowód jest poprawny?

Post autor: arek1357 » 22 paź 2017, o 11:43

Z powodu że???
A czy to jest zawsze prawda?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19224
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Czy dowód jest poprawny?

Post autor: a4karo » 22 paź 2017, o 11:49

Tak

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4092
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 410 razy

Re: Czy dowód jest poprawny?

Post autor: arek1357 » 22 paź 2017, o 15:15

ale \(\displaystyle{ n}\) nie jest minimalne masz grupę:

\(\displaystyle{ \ZZ_{2} \times \ZZ_{2}}\)

każdy element jest rzędu dwa
Ostatnio zmieniony 22 paź 2017, o 15:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27304
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4597 razy

Re: Czy dowód jest poprawny?

Post autor: Jan Kraszewski » 22 paź 2017, o 15:37

arek1357 pisze:ale \(\displaystyle{ n}\) nie jest minimalne
No i co z tego? Twierdzenie mówi o czymś innym.

JK

tangerine11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mielec
Podziękował: 14 razy

Re: Czy dowód jest poprawny?

Post autor: tangerine11 » 22 paź 2017, o 15:43

Zadanie pochodzi ze zbioru "Algebra abstrakcyjna w zadaniach", Jerzy Rutkowski.

W takim razie mogę prosić o jakieś wskazówki lub początek dowodu?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19224
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Czy dowód jest poprawny?

Post autor: a4karo » 22 paź 2017, o 15:46

Zacznij od tego :

Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie rzędem elementu \(\displaystyle{ a}\). To znaczy, że...

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27304
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4597 razy

Re: Czy dowód jest poprawny?

Post autor: Jan Kraszewski » 22 paź 2017, o 15:51

a4karo pisze:Zacznij od tego :

Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie rzędem elementu \(\displaystyle{ a}\). To znaczy, że...
Ja bym zaczął od

Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ a\in G}\). Niech...

JK

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15212
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5047 razy

Re: Czy dowód jest poprawny?

Post autor: Premislav » 22 paź 2017, o 15:53

arek1357, przecież nikt nie twierdzi, że jakiś element w takiej grupie jest rzędu \(\displaystyle{ n}\). To, że \(\displaystyle{ a^n =e}\) niekoniecznie znaczy, że rząd elementu \(\displaystyle{ a}\) jest równy \(\displaystyle{ n}\). Rozróżniasz?
Ja bym zaproponował coś takiego: ustalmy dowolne \(\displaystyle{ a \in G}\). Popatrzmy na
\(\displaystyle{ a, a^2, \ldots a^{n+1}}\)
Rząd grupy wynosi \(\displaystyle{ n}\), więc dla pewnych \(\displaystyle{ 1\le k<m\le n+1}\) mamy
\(\displaystyle{ a^k=a^m}\), stąd \(\displaystyle{ a^{m-k}=e}\), przy czym \(\displaystyle{ 1\le m-k \le n}\). Weźmy takie \(\displaystyle{ m, k}\) by ta różnica była jak najmniejsza.
Oznaczmy dla uproszczenia \(\displaystyle{ l=m-k}\) i podzielmy z resztą \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ l}\):
\(\displaystyle{ n=q\cdot l+r}\) dla pewnego \(\displaystyle{ q \in \NN, \ r \in\left\{ 0,\ldots l-1\right\}}\).
Mamy \(\displaystyle{ a^n=a^{q\cdot l}a^r=a^r}\).
i co teraz?

Można też od razu skorzystać z twierdzenia Lagrange'a (w szczególności dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in G}\) rząd podgrupy generowanej przez element \(\displaystyle{ a}\) musi dzielić się przez \(\displaystyle{ n}\)), ale pewnie nie o to chodziło.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4092
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 410 razy

Re: Czy dowód jest poprawny?

Post autor: arek1357 » 22 paź 2017, o 21:34

Tak tak rozróżniam jasne chodzi w tym o to że miałem na myśli co inne i stąd narobiłem ciut zamieszania. Ja tak myślę czasem jedno mówię co inne za co przepraszam za roztargnienie...

ODPOWIEDZ