monotoniczność funkcji z e

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Sowki123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 21 paź 2017, o 17:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 2 razy

monotoniczność funkcji z e

Post autor: Sowki123 » 21 paź 2017, o 19:10

Mam przykład \(\displaystyle{ y= \frac{x}{\ln x}}\) i nie wiem jak go narysować po obliczeniu pochodnej
\(\displaystyle{ y'= \frac{\ln x-1}{\ln x ^{2} } = \frac{\ln x}{\ln x ^{2} } - \frac{1}{\ln x ^{2} } = \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{\ln x ^{2} }}\)
i teraz powinnam jakoś wyciągnąć miejsca zerowe albo cokolwiek żeby zaznaczyć na osi i wyznaczyć monotonność ale nie wiem co. Coś tam wspomniano biednie na wykładach że \(\displaystyle{ \ln x}\) jest ze stałej \(\displaystyle{ e}\) i tyle co wiem na ten temat xd a co z tym zrobić to już nie

-- 21 paź 2017, o 19:16 --

mam kolejny \(\displaystyle{ y= x^{2} \cdot e^{-x}}\)
pochodna \(\displaystyle{ y'=2x \cdot e^{-x} +x ^{2} \cdot e ^{-x}}\)
i też nie wiem co dalej jak wyznaczyć monotoniczność
Ostatnio zmieniony 21 paź 2017, o 21:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

HelperNES
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 2 lut 2017, o 10:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stęszew
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 14 razy

Re: monotoniczność funkcji z e

Post autor: HelperNES » 22 paź 2017, o 11:03

Na początek, zapisz sobie dziedzinę. W pierwszym przykładzie funkcja nie istnieje dla \(\displaystyle{ x=1}\) i dla ujemnych \(\displaystyle{ x}\), więc również \(\displaystyle{ x>0}\)

Co do obliczeń trochę źle umieszczony symbol potęgi. Nie wiadomo czy masz funkcję \(\displaystyle{ \ln x^2}\), czy funkcję \(\displaystyle{ \ln x}\) podniesioną do kwadratu.

Najpierw najlepiej wyznaczyć punkt przegięcia funkcji, czyli przyrównać pierwszą jej pochodną do zera. Wychodzi wtedy, że:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{[\ln x]^2} = 0 \setminus\cdot [\ln x]^2}\)

\(\displaystyle{ \ln x - 1=0 \setminus +1}\)

\(\displaystyle{ \ln x=1 \Rightarrow e^1 = x}\)

Teraz warto zobaczyć co się dzieje przed \(\displaystyle{ x=e}\) i za nim.

Dla \(\displaystyle{ x=\sqrt{e}}\):

\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{1}{2}} - \frac{1}{[\frac{1}{2}]^2}}\)

\(\displaystyle{ 2-2^2=-2<0\Rightarrow}\) Funkcja maleje dla \(\displaystyle{ x=\sqrt{e}}\)

Niech \(\displaystyle{ x=e^2}\), wtedy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}=\frac{2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}>0\Rightarrow}\) Funkcja
rośnie dla \(\displaystyle{ x=e^2}\)

W takim razie dana funkcja maleje dla \(\displaystyle{ x\in(0,e) \setminus \{1\}}\) i rośnie dla \(\displaystyle{ xin[e,infty)}\)

ODPOWIEDZ