Do rozwiązania mam takie równanie:
\(\displaystyle{ \sin z=1-i}\)
Przekształcam to następująco:
Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \sin(x+iy)=\sin x \cos(iy)+\cos x \sin(iy)=\sin x \frac{e^{-y}+e^y}{2}-i\cos x \frac{e^{-y}-e^y}{2}}\)
Z tego wnioskuję, że:
\(\displaystyle{ \sin x \frac{e^{-y}+e^y}{2}=1 ~\wedge ~ \cos x\frac{e^{-y}-e^y}{2}=1}\)
no i tutaj nie wiem co dalej z tym zrobić. Mógłby ktoś coś podpowiedzieć?
Równanie z sinusem
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Równanie z sinusem
Na razie OK. Zauważ, że musi być \(\displaystyle{ \sin x>0}\), bo \(\displaystyle{ e^{-y}+e^y>0}\), a zatem
\(\displaystyle{ \sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}}\). Ponadto nietrudno się przekonać (jest to tzw. jedynka hiperboliczna), że
\(\displaystyle{ \frac{e^{-y}+e^y}{2} = \sqrt{1+\left( \frac{e^{-y}-e^y}{2} \right)^2 }}\)
Połóżmy więc \(\displaystyle{ u=\cos x, \ v= \frac{e^{-y}-e^y}{2}}\), a Twój układ równań przyjmie postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{1-u^2} \sqrt{1+v^2} =1 \\uv=1 \end{cases}}\)
- powodzenia.
\(\displaystyle{ \sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}}\). Ponadto nietrudno się przekonać (jest to tzw. jedynka hiperboliczna), że
\(\displaystyle{ \frac{e^{-y}+e^y}{2} = \sqrt{1+\left( \frac{e^{-y}-e^y}{2} \right)^2 }}\)
Połóżmy więc \(\displaystyle{ u=\cos x, \ v= \frac{e^{-y}-e^y}{2}}\), a Twój układ równań przyjmie postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{1-u^2} \sqrt{1+v^2} =1 \\uv=1 \end{cases}}\)
- powodzenia.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Równanie z sinusem
A może spróbuj nie przekształcać tylko szukać od razu całego \(\displaystyle{ z}\).
\(\displaystyle{ \sin z=\sin\left( z+2k\pi\right) = \frac{e^{iz+2k\pi i}-e^{-iz-2k\pi i}}{2i}=1-i}\)
Podstaw \(\displaystyle{ e^{iz+2k\pi i}=t}\) wtedy równanie się uprości do
\(\displaystyle{ \frac{t- \frac{1}{t} }{2i}=1-i}\)
co zamienisz na równanie kwadratowe.
itd.
\(\displaystyle{ \sin z=\sin\left( z+2k\pi\right) = \frac{e^{iz+2k\pi i}-e^{-iz-2k\pi i}}{2i}=1-i}\)
Podstaw \(\displaystyle{ e^{iz+2k\pi i}=t}\) wtedy równanie się uprości do
\(\displaystyle{ \frac{t- \frac{1}{t} }{2i}=1-i}\)
co zamienisz na równanie kwadratowe.
itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Równanie z sinusem
\(\displaystyle{ \frac{e^{i\cdot z}- e^{-i\cdot z}}{2 i} = 1 - i}\) (1)
Mnożymy obustronnie równanie (1) przez czynnik \(\displaystyle{ 6ie^{i\cdot z}}\)
\(\displaystyle{ 3(e^{i\cdot z})^2 - 6(1 +i )e^{i\cdot z}-3 =0.}\)
\(\displaystyle{ (e^{i\cdot z})^2 - 2\cdot 1+ i)\cdot e^{i\cdot z} - 1 =0.}\) (2)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ e^{i\cdot z}= u.}\)
Rozwiązanie równania kwadratowego (2).
Na końcu uwzględnienie okresowości funkcji sinus.
Mnożymy obustronnie równanie (1) przez czynnik \(\displaystyle{ 6ie^{i\cdot z}}\)
\(\displaystyle{ 3(e^{i\cdot z})^2 - 6(1 +i )e^{i\cdot z}-3 =0.}\)
\(\displaystyle{ (e^{i\cdot z})^2 - 2\cdot 1+ i)\cdot e^{i\cdot z} - 1 =0.}\) (2)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ e^{i\cdot z}= u.}\)
Rozwiązanie równania kwadratowego (2).
Na końcu uwzględnienie okresowości funkcji sinus.