Udowodnij jedno z praw rozkładu kwantyfikatorów

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
Gotek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 11 paź 2016, o 07:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

Udowodnij jedno z praw rozkładu kwantyfikatorów

Post autor: Gotek » 21 paź 2017, o 12:41

Czy mógłby ktoś wyjaśnić jak rozwiązywać zadania tego typu:
\(\displaystyle{ \bigwedge_x \left( \alpha \left( x \right) \Leftrightarrow \beta \left( x \right) \right) \Rightarrow \left( \bigwedge_x \alpha \left( x \right) \Leftrightarrow \bigwedge_x \beta \left( x \right) \right)}\)
i podać konkretny kontrprzykład iż nie zachodzi w drugą stronę
Ostatnio zmieniony 21 paź 2017, o 15:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 823
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 54 razy

Re: Udowodnij jedno z praw rozkładu kwantyfikatorów

Post autor: Jakub Gurak » 26 paź 2017, o 02:31

\(\displaystyle{ \bigwedge_x \left( \alpha \left( x \right) \Leftrightarrow \beta \left( x \right) \right) \Leftarrow \left( \bigwedge_x \alpha \left( x \right) \Leftrightarrow \bigwedge_x \beta \left( x \right) \right)}\).

Formuła jest fałszywa w zbiorze liczb naturalnych, gdzie \(\displaystyle{ \alpha \left( x \right)}\) oznacza, że \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą parzystą, a \(\displaystyle{ \beta \left( x \right)}\) oznacza, że \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą nieparzystą. Wtedy:

Wypowiedź \(\displaystyle{ \bigwedge_x \alpha \left( x \right)}\) jest fałszywa ( nie każda liczba jest parzysta); podobnie wypowiedź \(\displaystyle{ \bigwedge_x \beta \left( x \right)}\) jest fałszywa (nie każda liczba jest nieparzysta), zatem równoważność tych dwóch zdań fałszywych jest prawdziwa- poprzednik implikacji prawdziwy, a następnik implikacji będzie fałszywy ( bo dowolna liczba naturalna, gdy jest parzysta, to nie znaczy to samo, że jest nieparzysta- wręcz przeciwnie). A więc następnik implikacji jest fałszywy, i cała implikacja jest więc fałszywa.

ODPOWIEDZ