Znak w funkcjach cyklometrycznych

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
kwaw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 10 gru 2016, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Daleko
Podziękował: 4 razy

Znak w funkcjach cyklometrycznych

Post autor: kwaw » 21 paź 2017, o 11:54

Napisać wyrażenie \(\displaystyle{ \sin (\arctan (x))}\) bez używania funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych.
\(\displaystyle{ \arctan (x) = \alpha , \alpha \in \left\langle -\pi/2, \pi/2\right\rangle \\ \tg ( \alpha ) = x \\ x = \frac{\sin ( \alpha )}{\cos ( \alpha )} \\ \sin ( \alpha ) = x\cos ( \alpha )}\)
Komentarz: \(\displaystyle{ \sin ( \alpha ) < 0 \Leftrightarrow x< 0}\)
\(\displaystyle{ \sin ^2( \alpha ) = x^2\cos ^2( \alpha )}\)
Z jedynki trygonometrycznej wyjdzie:
\(\displaystyle{ \sin ^2( \alpha ) = \frac{x^2}{1+x^2} \\ \sin ( \alpha ) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}\)

Czy da się to zrobić jakoś bez podnoszenia do kwadratu?
Ostatnio zmieniony 21 paź 2017, o 15:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Znak w funkcjach cyklometrycznych

Post autor: Premislav » 21 paź 2017, o 12:20

Powinno być \(\displaystyle{ \alpha \in\left( -\frac \pi 2, \frac \pi 2\right)}\), wartości na krańcach tego przedziału funkcja arcus tangens nie osiąga. Reszta wygląda OK, a na pytanie, czy da się to zrobić bez podnoszenia do kwadratu odpowiem: prawie na pewno nie, ale nie bardzo jak można to udowodnić (choć w trygonometrii jest tyle różnych dziwnych wzorów i sztuczek, że może i jednak nie mam racji).

ODPOWIEDZ