nierówność z dwoma zmiennymi

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
maximum2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 19 cze 2017, o 08:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ola
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 5 razy

nierówność z dwoma zmiennymi

Post autor: maximum2000 » 21 paź 2017, o 08:56

Niech \(\displaystyle{ a,b \in [0,1]}\). Pokaż że \(\displaystyle{ 1\geq\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+(1-a)(1-b) \geq \frac{13-5\sqrt{5}}{2}.}\)
Ostatnio zmieniony 21 paź 2017, o 12:44 przez maximum2000, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7893
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 243 razy
Pomógł: 3093 razy

Re: nierówność z dwoma zmiennymi

Post autor: kerajs » 21 paź 2017, o 09:55

1)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+(1-a)(1-b) \ge 0}\)
bo suma nieujemnych jest nieujemna.
(Tak naprawdę lewa strona jest dodatnia, ale tu wystarczy słabsze ograniczenie.)
2)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+(1-a)(1-b) = \frac{a(a+1)+b(b+1)+(1-a)(1-b)(1+a)(1+b)}{(1+a)(1+b)} =\\=\frac{a^2+a+b^2+b+1-a^2-b^2+a^2b^2}{(1+a)(1+b)}=\frac{(1+a)(1+b)-ab+a^2b^2}{(1+a)(1+b)}=\\=1-\frac{ab(1-ab)}{(1+a)(1+b)} \le 1}\)
3)
\(\displaystyle{ \frac{11-5 \sqrt{5} }{2} \approx -0,09 <0}\)
Ostatnio zmieniony 21 paź 2017, o 12:47 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.

maximum2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 19 cze 2017, o 08:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ola
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 5 razy

Re: nierówność z dwoma zmiennymi

Post autor: maximum2000 » 21 paź 2017, o 12:44

Sory poprawiłem drugie ograniczenie.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7893
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 243 razy
Pomógł: 3093 razy

Re: nierówność z dwoma zmiennymi

Post autor: kerajs » 21 paź 2017, o 16:04

Z ekstremum funkcji dwóch zmiennych minimum występuje dla \(\displaystyle{ a=b= \frac{ \sqrt{5} -1}{2}}\), a wartość minimalna to \(\displaystyle{ \frac{13-5 \sqrt{5} }{2}}\).

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1556
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 411 razy

nierówność z dwoma zmiennymi

Post autor: bosa_Nike » 21 paź 2017, o 16:38

Oszacowanie z dołu jest niedobre. Np. dla iksów bliskich zera i igreków bliskich jedynki możemy być dowolnie blisko jednej drugiej.

@kerajs - tam jest siodło

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: nierówność z dwoma zmiennymi

Post autor: Premislav » 21 paź 2017, o 16:51

bosa_Nike, to akurat nieprawda:
Np. dla iksów bliskich zera i igreków bliskich jedynki możemy być dowolnie blisko jednej drugiej.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1556
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 411 razy

Nierówność z dwiema zmiennymi

Post autor: bosa_Nike » 21 paź 2017, o 18:04

Niezbyt mam czas na przekomarzanki, napiszę może wprost, o co mi chodziło.

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+(1-x)(1-y)-\frac{1}{2}=\frac{2x^2y^2+3xy+x+y+1-2x^2-2y^2}{2(x+1)(y+1)}=\\ \\ \\ \frac{2xy(xy+1)+2x(1-x)+2y(1-y)+(1-x)(1-y)}{2(x+1)(y+1)}>0}\)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4092
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 410 razy

Re: nierówność z dwoma zmiennymi

Post autor: arek1357 » 21 paź 2017, o 19:14

Bosa Nike przeholowała, że hoho...

Zgadzam się z kolegą Kerajsem...

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1556
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 411 razy

Nierówność z dwiema zmiennymi

Post autor: bosa_Nike » 21 paź 2017, o 22:17

Mam akurat chwilę, więc dokończę myśl - chodzi o tę część dotyczącą dowolnie blisko.
Jeżeli weźmiemy teraz \(\displaystyle{ x=0+\varepsilon,\ y=1-\varepsilon,\ \varepsilon>0}\), to

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+(1-x)(1-y)-\frac{1}{2}=\frac{\varepsilon (1-\varepsilon)\left(5+2\varepsilon+2\left(1-\varepsilon ^2\right)\right)}{2(\varepsilon+1)(2-\varepsilon)}\underset{\varepsilon\to 0}{\longrightarrow} 0}\)

PS Hmm, no tak, oczywiście zmieniłam mechanicznie oznaczenia zmiennych, wydaje mi się jednak, że już nie ma potrzeby tego poprawiać.

PPS Normalnie wątek cudów, właśnie zauważyłam, że tam jest domknięty przedział (nie ma emotki z facepalmem, a przydałaby się).
W takim razie po prostu \(\displaystyle{ \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+(1-x)(1-y)\ge\frac{1}{2}}\) z równością np. dla \(\displaystyle{ (x,y)=(0,1)}\).

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1544
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 437 razy

Re: nierówność z dwoma zmiennymi

Post autor: timon92 » 22 paź 2017, o 00:12

bosa_Nike, fajnie, ale jak to się ma do nierówności \(\displaystyle{ \frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+(1-a)(1-b) \geq \frac{13-5\sqrt{5}}{2}}\), o którą pytał założyciel wątku?

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1556
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 411 razy

Nierówność z dwiema zmiennymi

Post autor: bosa_Nike » 22 paź 2017, o 00:23

Ano tak, że zaczynam wierzyć w teorie spiskowe. A poważnie, to oczywiście robiłam inną nierówność, przepraszam wszystkich za zamieszanie. (teraz potrzebuję podwójnego facepalma)

ODPOWIEDZ