nierówność z dwoma zmiennymi

[maximum2000]

Niech \(\displaystyle{ a,b \in [0,1]}\). Pokaż że \(\displaystyle{ 1\geq\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+(1-a)(1-b) \geq \frac{13-5\sqrt{5}}{2}.}\)

[kerajs]

1)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+(1-a)(1-b) \ge 0}\)
bo suma nieujemnych jest nieujemna.
(Tak naprawdę lewa strona jest dodatnia, ale tu wystarczy słabsze ograniczenie.)
2)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+(1-a)(1-b) = \frac{a(a+1)+b(b+1)+(1-a)(1-b)(1+a)(1+b)}{(1+a)(1+b)} =\\=\frac{a^2+a+b^2+b+1-a^2-b^2+a^2b^2}{(1+a)(1+b)}=\frac{(1+a)(1+b)-ab+a^2b^2}{(1+a)(1+b)}=\\=1-\frac{ab(1-ab)}{(1+a)(1+b)} \le 1}\)
3)
\(\displaystyle{ \frac{11-5 \sqrt{5} }{2} \approx -0,09 <0}\)

[maximum2000]

Sory poprawiłem drugie ograniczenie.

[kerajs]

Z ekstremum funkcji dwóch zmiennych minimum występuje dla \(\displaystyle{ a=b= \frac{ \sqrt{5} -1}{2}}\), a wartość minimalna to \(\displaystyle{ \frac{13-5 \sqrt{5} }{2}}\).

[bosa_Nike]

Oszacowanie z dołu jest niedobre. Np. dla iksów bliskich zera i igreków bliskich jedynki możemy być dowolnie blisko jednej drugiej.

@kerajs - tam jest siodło

[Premislav]

bosa_Nike, to akurat nieprawda:

Np. dla iksów bliskich zera i igreków bliskich jedynki możemy być dowolnie blisko jednej drugiej.

[bosa_Nike]

Niezbyt mam czas na przekomarzanki, napiszę może wprost, o co mi chodziło.

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+(1-x)(1-y)-\frac{1}{2}=\frac{2x^2y^2+3xy+x+y+1-2x^2-2y^2}{2(x+1)(y+1)}=\\ \\ \\ \frac{2xy(xy+1)+2x(1-x)+2y(1-y)+(1-x)(1-y)}{2(x+1)(y+1)}>0}\)

[arek1357]

Bosa Nike przeholowała, że hoho...

Zgadzam się z kolegą Kerajsem...

[bosa_Nike]

Mam akurat chwilę, więc dokończę myśl - chodzi o tę część dotyczącą dowolnie blisko.
Jeżeli weźmiemy teraz \(\displaystyle{ x=0+\varepsilon,\ y=1-\varepsilon,\ \varepsilon>0}\), to

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+(1-x)(1-y)-\frac{1}{2}=\frac{\varepsilon (1-\varepsilon)\left(5+2\varepsilon+2\left(1-\varepsilon ^2\right)\right)}{2(\varepsilon+1)(2-\varepsilon)}\underset{\varepsilon\to 0}{\longrightarrow} 0}\)

PS Hmm, no tak, oczywiście zmieniłam mechanicznie oznaczenia zmiennych, wydaje mi się jednak, że już nie ma potrzeby tego poprawiać.

PPS Normalnie wątek cudów, właśnie zauważyłam, że tam jest domknięty przedział (nie ma emotki z facepalmem, a przydałaby się).
W takim razie po prostu \(\displaystyle{ \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+(1-x)(1-y)\ge\frac{1}{2}}\) z równością np. dla \(\displaystyle{ (x,y)=(0,1)}\).

[timon92]

bosa_Nike, fajnie, ale jak to się ma do nierówności \(\displaystyle{ \frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+(1-a)(1-b) \geq \frac{13-5\sqrt{5}}{2}}\), o którą pytał założyciel wątku?

[bosa_Nike]

Ano tak, że zaczynam wierzyć w teorie spiskowe. A poważnie, to oczywiście robiłam inną nierówność, przepraszam wszystkich za zamieszanie. (teraz potrzebuję podwójnego facepalma)