Nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną

Post autor: Kalkulatorek » 20 paź 2017, o 19:54

Witam!

Mam udowodnić, stosując indukcję, że średnia arytmetyczna danego ciągu liczb dodatnich jest zawsze większa lub równa średniej geometrycznej tego samego ciągu - nie mam jednak pomysłu, jak abrać się za to zadanie - prosiłbym o jakąś podpowiedź.
Ostatnio zmieniony 20 paź 2017, o 20:52 przez Kalkulatorek, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3143
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1069 razy

Re: Nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną

Post autor: Janusz Tracz » 20 paź 2017, o 20:02


pasman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 165
Rejestracja: 26 lut 2016, o 17:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

Nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną

Post autor: pasman » 20 paź 2017, o 20:35

Kalkulatorek pisze:Witam!

Mam udowodnić, stosując indukcję, że średnia geometryczna danego ciągu liczb dodatnich jest zawsze większa lub równa średniej arytmetycznej tego samego ciągu
chyba odwrotnie.

bartokot
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 22 lut 2017, o 13:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/opolskie
Pomógł: 1 raz

Re: Nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną

Post autor: bartokot » 20 paź 2017, o 20:52

Kalkulatorek, dla liczb \(\displaystyle{ \frac{1}{2}, 2}\) średnia geometryczna wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2} = \sqrt{1} = 1}\), a średnia arytmetyczna wynosi \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{2} + 2}{2} = 1.25}\).
\(\displaystyle{ 1 \geq 1.25}\)?

ODPOWIEDZ