Obliczyć funkcję odwrotną

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
karol235
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 4 mar 2017, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Obliczyć funkcję odwrotną

Post autor: karol235 » 20 paź 2017, o 14:25

Przepraszam, jeżeli to nie ten dział, ale inne jeszcze bardziej wydają mi się niepasujące.

Mam obliczyć funkcję odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ f(x)= 2^{x} - 2^{-x}}\).
Próbowałem na różne sposoby, również złożeniem, ale i tak utknąłem na tym, z nie potrafię obliczyć odwrotności funkcji \(\displaystyle{ g(x)=x- \frac{1}{x}}\).
Proszę o pomoc

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Obliczyć funkcję odwrotną

Post autor: szw1710 » 20 paź 2017, o 15:26

Klasyczne zadanie na początek roku akademickiego. Zapisujemy \(\displaystyle{ y=2^x-\frac{1}{2^x}}\). Chcemy wyznaczyć stąd \(\displaystyle{ x}\) jako funkcję \(\displaystyle{ y}\). W tym celu mnożymy obie strony przez \(\displaystyle{ 2^x}\). Wstawiając nową zmienną \(\displaystyle{ 2^x=t>0}\) dochodzimy do równania kwadratowego zmiennej dodatniej \(\displaystyle{ t}\) z parametrem \(\displaystyle{ y}\). Po drodze pojawią się dwie nierówności, które trzeba będzie wykazać: dla każdego \(\displaystyle{ y}\) zachodzą nierówności \(\displaystyle{ y+\sqrt{y^2+4}>0}\) oraz \(\displaystyle{ y-\sqrt{y^2+4}<0}\). Pomocna jest tu oczywista nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{y^2+4}>\sqrt{y^2}=|y|}\).

Jeśli da jednoznacznie wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) w zależności od \(\displaystyle{ y}\), funkcja odwrotna istnieje i można pominąć wykazywanie różnowartościowości funkcji danej. Ale to robi się metodą podobną (początek) do mojej wskazówki. Więc możesz to wykonać jako pożyteczne ćwiczenie.
Ostatnio zmieniony 20 paź 2017, o 17:09 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Obliczyć funkcję odwrotną

Post autor: Premislav » 20 paź 2017, o 15:41

Jak się zna funkcję area sinus hiperboliczny (odwrotną do sinusa hiperbolicznego) to wynik można prawie że od razu napisać, ponieważ \(\displaystyle{ 2^x-2^{-x}=2sinh (xln 2)}\). Jednak wyznaczenie funkcji odwrotnej do sinusa hiperbolicznego realizuje się właśnie tak, jak opisał powyżej szw1710, zatem zapewne zamysł osoby dającej to zadanie był taki, by to przeprowadzić.
Co więcej, zrobił to już Chromosom tutaj:
344532.htm#p5140251

ODPOWIEDZ