Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2619
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego

Post autor: max123321 » 20 paź 2017, o 03:06

W \(\displaystyle{ \RR^2}\) dana jest pewna norma \(\displaystyle{ \left| \left| \cdot \right| \right|}\). Kula jednostkowa w tej normie ma kształt sześciokąta foremnego o boku długości \(\displaystyle{ 1}\), środku w \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\) i jednym z wierzchołków w punkcie \(\displaystyle{ \left( 1,0\right)}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \left| \left| \cdot \right| \right|}\) nie pochodzi od iloczynu skalarnego.

Jak to zrobić?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15210
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego

Post autor: Premislav » 20 paź 2017, o 03:55

Pokombinuj z regułą równoległoboku.

Zdaje się, że można od razu przywalić takim czymś, iż przestrzeń unormowana z normą pochodząca od iloczynu skalarnego jest ściśle wypukła, ale nie pamiętam jak się tego dowodzi…

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2619
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego

Post autor: max123321 » 20 paź 2017, o 04:09

Czyli, że ma spełniać to:
\(\displaystyle{ 2\left\langle x,x\right\rangle+2\left\langle y,y\right\rangle=\left\langle x+y,x+y\right\rangle+\left\langle x-y,x-y\right\rangle}\)
I co mam tak kombinować tymi iksami i igrekami, żeby dostać sprzeczność? Pewnie najlepiej wziać te punkty z tego sześciokąta jednak nie wiem do czego należy dążyć.

Awatar użytkownika
Takahashi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 186
Rejestracja: 12 maja 2017, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: brak
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 22 razy

Re: Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego

Post autor: Takahashi » 20 paź 2017, o 05:59

Czy taka norma istnieje?

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2619
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego

Post autor: max123321 » 20 paź 2017, o 23:11

Pewnie nie istnieje, ale dlaczego?

Awatar użytkownika
Takahashi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 186
Rejestracja: 12 maja 2017, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: brak
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 22 razy

Re: Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego

Post autor: Takahashi » 21 paź 2017, o 18:40

Z każdym zbalansowanym (symetrycznym względem zera), wypukłym i pochłaniającym zbiorem \(\displaystyle{ A}\) można związać półnormę \(\displaystyle{ p(x) = \inf \{\lambda > 0: x \in \lambda A\}}\), to pokazuje się zazwyczaj na zajęciach z analizy funkcjonalnej.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2619
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego

Post autor: max123321 » 21 paź 2017, o 20:09

Nie miałem analizy funkcjonalnej.

Może ktoś powie jak to należy zrobić i poda jakiś kontrprzykład?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15210
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego

Post autor: Premislav » 22 paź 2017, o 02:07

Przypuśćmy nie wprost, że taka norma istnieje.
Niech \(\displaystyle{ x=(1,0), \ y=\left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\), wówczas
\(\displaystyle{ x+y=\left( \frac 3 2 , \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \ x-y=\left( \frac 1 2, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\)
Z tożsamości równoległoboku:
\(\displaystyle{ 2\|x\|^2+2\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2}\)
Zauważmy przy tym, że \(\displaystyle{ \frac{x+y}{2}}\) należy do sześciokąta, a więc i do "kuli jednostkowej", podobnież \(\displaystyle{ x,y}\) tak dobrałem, by należały do "kuli jednostkowej". Zatem:
\(\displaystyle{ 4=4+\|x-y\|^2}\)
czyli \(\displaystyle{ \|x-y\|=0}\), ale \(\displaystyle{ x-y}\) nie jest wektorem zerowym - sprzeczność, taka norma nie istnieje (tj. norma z taką kulą jednostkową pochodząca od iloczynu skalarnego).

-- 22 paź 2017, o 02:08 --

Wierzchołki sześciokąta foremnego można oczywiście znaleźć, rozważając równanie w zespolonych:
\(\displaystyle{ z^6=1}\). Stąd wziąłem to \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\), inaczej bym sobie nie poradził, bo nie umiem liczyć (ja wiem, że wektory i symetria, ale takie jest życie :>).

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2619
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego

Post autor: max123321 » 22 paź 2017, o 10:37

No dobra ok, ale skąd wiesz, że \(\displaystyle{ \|x+y\|^2=4}\)?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15210
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Udowodnić, że norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego

Post autor: Premislav » 22 paź 2017, o 11:55

Wiesz, zaczynasz mnie irytować swoim lenistwem. Nic by Ci się nie stało, gdybyś przez pięć minut sam się zastanowił, na przykład mając przed oczami aksjomaty normy.
Premislav pisze:Zauważmy przy tym, że \(\displaystyle{ \frac{x+y}{2}}\) należy do sześciokąta, a więc i do "kuli jednostkowej"
Zatem \(\displaystyle{ \left\| \frac{x+y}{2} \right \|=1}\) oraz
\(\displaystyle{ \|x+y\|=\left \| 2\cdot \frac{x+y}{2} \right \|=\\=2\left \| \frac{x+y}{2} \right \|}\)
ponieważ \(\displaystyle{ \|\alpha \cdor x\|=|\alpha|\cdot \|x\|}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha \in \RR}\)
No i w w związku z tym
\(\displaystyle{ \|x+y\|^2=4\left \| \frac{x+y}{2} \right \|^2=4}\)

ODPOWIEDZ