Granica z definicji

[wiktor363]

Oblicz z definicji granicę ciągu (w nieskończoności) \(\displaystyle{ a _{n}= \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) ^{n}}\)

Z definicji zapisujemy, że \(\displaystyle{ \forall \alpha \exists N _{0} \forall n>N _{0} \left| 1- \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) ^{n}\right| < \alpha}\). Co robić dalej...

[Premislav]

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ \alpha>0}\).
\(\displaystyle{ \left| 1- \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) ^{n}\right|= \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) ^{n}-1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\)
Zatem nierówność można przekształcić do
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac 1 {n^2}\right)^n<1+\alpha}\)
Nie istnieje zwarty, elementarny wzór funkcji odwrotnej do \(\displaystyle{ \left( 1+\frac 1 {x^2}\right)^x}\) i tu jest problem z mechanicznym przekształcaniem nierówności, które zwykle się pojawia przy liczeniu granic "z definicji" i które grozi niezrozumieniem (przynajmniej moim zdaniem).
Ale zauważ, że ze wzoru dwumianowego Newtona
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac 1 {n^2}\right)^n= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \frac{1}{n^{2k}}=1+\sum_{k=1}^{n} {n \choose k} \frac{1}{n^{2k}}<1+\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}{n \choose k} \frac{1}{n^{k}}=\\=1+\frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \ldots \frac{n-k+1}{n} \le 1+\frac 1 n \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}=\\=1+\frac 1 n\left( 1+ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!}\right) \le 1+\frac 1 n\left( 1+ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k(k-1)}\right)\right) =\\=1+\frac 1 n\left(1+ \sum_{k=2}^{n}\left( \frac 1 {k-1}-\frac 1 k\right)\right)<1+\frac 2 n}\)
Stąd jeśli n będzie na tyle duże, by
\(\displaystyle{ 1+\frac 2 n <1+\alpha \ (*)}\), to także zajdzie
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac 1 {n^2}\right)^n<1+\alpha}\)
W tym celu wystarczy wziąć \(\displaystyle{ n_0=\left\lceil \frac 2 \alpha \right\rceil}\) (przekształcamy \(\displaystyle{ (*)}\))
i dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\) większych od owego \(\displaystyle{ n_0}\) zajdzie
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac 1 {n^2}\right)^n<1+\alpha}\)

[wiktor363]

NIe widzę jak udało ci się do tego dotrzeć, (poza tym chyba pomyliłeś się pisząc 1n):
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \ldots \frac{n-k+1}{n}}\)
Mógłbyś wyjaśnić ten krok...

[Premislav]

Nie pomyliłem się raczej. To wolniej: niech \(\displaystyle{ k\in \NN^+, n \in \NN^+}\), wtedy
\(\displaystyle{ n^{2k}\ge n^{k+1}\\\frac{1}{n^{k+1}}\ge \frac{1}{n^{2k}}\\{n \choose k}\frac{1}{n^{2k}}\le {n \choose k}\frac{1}{n^{k+1}}}\)
przy czym dla \(\displaystyle{ k\ge 2}\) ta nierówność staje się ostra. Jeśli więc \(\displaystyle{ n\ge 2}\), to dodając stronami takie nierówności dla \(\displaystyle{ k=1, \ldots k=n}\), po czym jeszcze obustronnie dodając \(\displaystyle{ 1}\), otrzymujemy
\(\displaystyle{ 1+ \sum_{k=1}^{n} {n \choose k}\frac{1}{n^{2k}}<1+ \sum_{k=1}^{n}{n \choose k}\frac{1}{n^{k+1}}=1+\frac 1 n \sum_{k=1}^{n}{n \choose k}\frac{1}{n^{k}}}\)
Teraz tak:
nietrudno sprawdzić, że \(\displaystyle{ {n \choose k}= \frac{n\cdot (n-1)\cdot \ldots (n-k+1)}{k!}}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 1}\) (dla \(\displaystyle{ k=1}\) ten zapis jest trochę słaby, ale zawsze można to poprawić pisząc
\(\displaystyle{ {n \choose k}=\frac{1}{k!} \prod_{l=1}^{k}(n-l+1)}\), tylko jak ktoś nie zna tej notacji z iloczynem, to jedna więcej rzecz do tłumaczenia),
więc mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}{n \choose k}\frac{1}{n^{k}}= \sum_{k=1}^n\frac{1}{k!} \frac{n\ldots (n-k+1)}{n^k}=\\= \sum_{k=1}^n\frac{1}{k!} {\red \frac{n}{n} \cdot \ldots \frac{n-k+1}{n}}}\)
i każdy z czynników w tym czerwonym iloczynie jest nie większy niż \(\displaystyle{ 1}\), więc całości nie zmniejszymy (a dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) powiększymy), wyrzucając ten iloczyn.
Czyli w końcu
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n^2}\right)^n<1+\frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}, \ n\ge 2}\)
Teraz zauważmy, że dla \(\displaystyle{ k\ge 2}\)
jest \(\displaystyle{ k(k-1)\le k!}\), a stąd
\(\displaystyle{ \frac{1}{k!}\le \frac{1}{k(k-1)}}\), toteż
\(\displaystyle{ 1+\frac 1 n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}=\\=1+\frac 1 n\left( 1+\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!}\right) \le 1+\frac{1}{n}\left( 1+ \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k(k-1)} \right)}\)