podzielność-liczby względnie pierwsze

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
takamatematyka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 30 sie 2017, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łowicz
Podziękował: 9 razy

podzielność-liczby względnie pierwsze

Post autor: takamatematyka » 19 paź 2017, o 20:20

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) dzieli dokładnie jedną z liczb \(\displaystyle{ m,n}\) to nie może dzielić sumy \(\displaystyle{ m+n}\).
Ostatnio zmieniony 19 paź 2017, o 23:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3151
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1072 razy

podzielność-liczby względnie pierwsze

Post autor: Janusz Tracz » 19 paź 2017, o 20:33

Bez straty ogólności przyjmujemy że \(\displaystyle{ \frac{m}{p}=k\in\ZZ}\) wtedy:

\(\displaystyle{ \frac{m+n}{p}= \frac{m}{p} + \frac{n}{p}=k+\frac{n}{p}}\)

A ponieważ \(\displaystyle{ \frac{n}{p}\not\in\ZZ}\) to \(\displaystyle{ k+\frac{n}{p}\not\in\ZZ}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{m+n}{p}\not\in\ZZ}\) więc \(\displaystyle{ m+n}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ p}\).

ODPOWIEDZ