Wykazać że nierówność jest prawdziwa

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
Magnificent
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 19 paź 2017, o 19:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Wykazać że nierówność jest prawdziwa

Post autor: Magnificent » 19 paź 2017, o 19:48

Niech \(\displaystyle{ q>1, k\in\NN}\). Wykaż, że istnieje taka stała \(\displaystyle{ c>0}\), że nierówność jest prawdziwa:

\(\displaystyle{ q^{n} \ge c \cdot n^{k}}\)
Ostatnio zmieniony 19 paź 2017, o 19:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Wykazać że nierówność jest prawdziwa

Post autor: Premislav » 21 paź 2017, o 15:56

Niech \(\displaystyle{ q=(1+a)^k, \ a>0}\) (krótkim rachunkiem uzasadnij, że w świetle założeń takie \(\displaystyle{ a}\) istnieje).
Zatem nierówność przyjmuje formę \(\displaystyle{ (1+a)^{kn} \ge c\cdot n^k}\)
Z nierówności Bernoulliego:
\(\displaystyle{ (1+a)^n \ge 1+na}\), a zatem
\(\displaystyle{ q^n=(1+a)^{kn}=\left((1+a)^n\right)^k \ge (1+na)^k>n^k a^k}\)
Stąd
\(\displaystyle{ q^n\ge a^k n^k}\) dla \(\displaystyle{ a=\sqrt[k]{q}-1}\),
więc można wziąć \(\displaystyle{ c=a^k}\).-- 21 paź 2017, o 15:59 --A jak koniecznie chcesz gdzieś wcisnąć indukcję, to tę nierówność Bernoulliego, z której skorzystałem, udowodnij indukcyjnie (trudno sobie wyobrazić prostsze zadanie na indukcję).

ODPOWIEDZ