Nierówność w trójkącie

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 80 razy

Nierówność w trójkącie

Post autor: Rafsaf » 19 paź 2017, o 18:09

Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą długościami boków trójkąta. Wykaż, że

\(\displaystyle{ 2 \left( \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \right) \ge \frac{a}{c}+ \frac{b}{a}+ \frac{c}{b}+3}\)

Próbowałem zrobić to z tego że
\(\displaystyle{ \frac{\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}}{3} \ge \sqrt[3]{ \frac{abc}{abc} }=1}\)

Zostałoby wtedy

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \ge \frac{a}{c}+ \frac{b}{a}+ \frac{c}{b}}\)

Czego nie potrafię dowieść
Ostatnio zmieniony 19 paź 2017, o 18:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Skaluj nawiasy.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3147
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1070 razy

Re: Nierówność w trójkącie

Post autor: Janusz Tracz » 19 paź 2017, o 18:37

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}-\frac{a}{c}- \frac{b}{a}- \frac{c}{b}=- \frac{\left( a-b\right)\left( a-c\right)\left( b-c\right) }{abc}}\)

Pytanie czy

\(\displaystyle{ - \frac{\left( a-b\right)\left( a-c\right)\left( b-c\right) }{abc} \ge 0}\)

a więc

\(\displaystyle{ \left( a-b\right)\left( a-c\right)\left( b-c\right) \le 0}\)

Dla ustalenia uwagi \(\displaystyle{ a>b>c}\) wtedy widać że 2 iloczyny są dodatnie a 1 ujemny co kończy dowód. Gdy trójkąt jest równoramienny nierówność staje się równością.

Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 80 razy

Re: Nierówność w trójkącie

Post autor: Rafsaf » 19 paź 2017, o 18:51

Myślałem trochę w innej kategorii, chociaż też rozpatrywałem \(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\), próbowałem z tego wyjść by udowodnić że ten licznik większy od \(\displaystyle{ 0}\) to trafiłem do lasu, dzięki!

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1556
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 411 razy

Nierówność w trójkącie

Post autor: bosa_Nike » 19 paź 2017, o 20:31

\(\displaystyle{ \uparrow}\) Nie, no ale przecież tracimy ogólność przyjmując taki porządek.

\(\displaystyle{ L-P=\frac{(a-b+c)(a-b)^2+(a+b-c)(b-c)^2+(-a+b+c)(c-a)^2}{2abc}\ge 0}\)

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2593
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 363 razy

Re: Nierówność w trójkącie

Post autor: Dilectus » 19 paź 2017, o 21:27

Janusz Tracz pisze:\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}-\frac{a}{c}- \frac{b}{a}- \frac{c}{b}=- \frac{\left( a-b\right)\left( a-c\right)\left( b-c\right) }{abc}}\)
Jak na to wpadłeś?


Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1544
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 437 razy

Re: Nierówność w trójkącie

Post autor: timon92 » 19 paź 2017, o 21:52

@up zapisujemy to wyrażenie jako jeden ułamek poprzez sprowadzenie do wspólnego mianownika, widzimy, że dla \(\displaystyle{ a=b}\) wyrażenie to się zeruje, więc wielomian w liczniku dzieli się bez reszty przez \(\displaystyle{ a-b}\), z tych samych powodów dzieli się przez \(\displaystyle{ b-c}\) i przez \(\displaystyle{ c-a}\), czyli to wyrażenie jest postaci \(\displaystyle{ \lambda \cdot \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}}\) dla pewnej stałej \(\displaystyle{ \lambda}\) i na paluszkach sprawdzamy, że \(\displaystyle{ \lambda=1}\)

przy okazji: nierówność \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \ge \frac{a}{c}+ \frac{b}{a}+ \frac{c}{b}}\) nie miała prawa zachodzić, bo gdyby zachodziła dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c}\) to wtedy też zachodziłoby \(\displaystyle{ \frac{a}{c}+ \frac{b}{a}+ \frac{c}{b}\ge \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}}\), czyli mielibyśmy dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c}\) równość \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} = \frac{a}{c}+ \frac{b}{a}+ \frac{c}{b}}\) a równości nie ma co widać poprzez np. wymnożenie przez mianowniki tudzież wstawienie konkretnych liczb \(\displaystyle{ a=2, b=3, c=4}\)

ODPOWIEDZ