Granica ciągu a funkcje trygonometryczne

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Granica ciągu a funkcje trygonometryczne

Post autor: Kalkulatorek » 19 paź 2017, o 17:27

Witam!

Zastanawiam się, w jaki sposób można by policzyć granicę następującego ciągu: \(\displaystyle{ a_n = \frac{\sin(n)}{n}}\)
Próbowałem zapisać ten ciąg jako iloczyn ciągu dążącego do zera oraz ciągu wartości funkcji sinus, jednak problem jest taki, że sinus nie ma granicy - zatem nie mogę zastosować twierdzenia o arytmetyce granic.
Kolejna sprawa - kółko trygonometryczne. Otrzymałem \(\displaystyle{ 1 \ge \frac{\sin(n)}{n} \ge |\cos(n)|}\), jednak ponownie - cosinus do niczego nie zmierza.

Istnieje jakiś rozsądnie prosty sposób na policzenie tego? Dodam, że chciałbym zrobić to możliwie z definicji i twierdzeń o ciągach.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Granica ciągu a funkcje trygonometryczne

Post autor: Premislav » 19 paź 2017, o 17:39

\(\displaystyle{ -1\le \sin(n) \le 1}\) i zastosuj twierdzenie o trzech ciągach.

ODPOWIEDZ